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証明

2階定数係数同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式 $3$\displaystyle{{t}^{2}+at+b=0}$ の解によって以下のようになる．

(2)実数解 $3$\displaystyle{\alpha }$ (重解)の場合

$3$\displaystyle{y= \( \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}x \) {e}^{ \alpha x }}$

■証明

特性方程式が重解 $3$\displaystyle{\alpha }$ をもつ場合，特性方程式 $3$\displaystyle{f \(t\) }$ は

$3$\displaystyle{f \(t\) ={ \( t- \alpha \) }^{2}}$

と表わせる．よって，微分演算子を用いると，2階定数係数同次微分方程式は

$3$\displaystyle{f \(D\) y=0}$

$3$\displaystyle{{ \( D- \alpha \) }^{2}y=0}$

となる． $3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }=1}$ を使って書き換えると次のようになる．

$3$\displaystyle{{ \( D- \alpha \) }^{2} \[ {e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }y \] =0}$

ここで，微分演算子の基本公式

$3$\displaystyle{f \(D\) \[ {e}^{ \alpha x }y \] ={e}^{ \alpha x }f \( D+\alpha \) y}$ ⇒詳細

を利用すると，

$3$\displaystyle{ { \( D- \alpha \) }^{2} \[ {e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }y \] }$ $3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x }{ \{ \( D+\alpha \) - \alpha \} }^{2} \[ {e}^{ - \alpha x }y \] }$ $3$\displaystyle{ ={e}^{ \alpha x }{D}^{2} \[ {e}^{ - \alpha x }y \] }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

よって，

$3$\displaystyle{{D}^{2} \[ {e}^{ - \alpha x }y \] =0}$

ここで $3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }y=z}$ とおくと

$3$\displaystyle{{D}^{2}z=0}$

つまり，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=0}$

これを積分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\hspace{1}{c}_{2}}$

となり，もう一度積分すると

$3$\displaystyle{z=\hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}x}$

となる(ただし $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2} }$ は任意定数)．よって

$3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }y=\hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}x}$

両辺に $3$\displaystyle{ {e}^{ \alpha x } }$ かけると

$3$\displaystyle{y= \( \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}x \) {e}^{ \alpha x }}$

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　最終更新日： 2024年5月17日