定数係数線形微分方程式の解の導出

定数係数線形微分方程式

$3$\displaystyle{f $D$ y=h\sin ax+k\cos ax}$

について

(1) $3$\displaystyle{f $ ia $ \neq 0}$ ならば，この微分方程式は

$3$\displaystyle{y=A\sin ax+B\cos ax}$

という形の特殊解をもつ．

■導出

$3$\displaystyle{f $D$ y=h\sin ax+k\cos ax}$

両辺を $3$\displaystyle{f $D$ }$ で割ると

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}} $ h\sin ax+k\cos ax $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}h\sin ax+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}k\cos ax}$

$3$\displaystyle{=h\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\sin ax+k\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}\cos ax}$ 　･･････(1)

ここで， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ を計算する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ iax }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ ia $ \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ （ $3$\displaystyle{ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet f $ ia $ \neq 0 }$ 　　　逆演算子の公式）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ ia $ \hspace{2}}=C+iE}$ とすると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $ ia $ \hspace{2}}{e}^{ iax }}$ $3$\displaystyle{= $ C+iE $ {e}^{ iax }}$

$3$\displaystyle{= $ C+iE $ $ \cos ax+i\sin ax $ }$

$3$\displaystyle{=C\cos ax+iC\sin ax+iE\cos ax- E\sin ax}$

$3$\displaystyle{= $ C\cos ax- E\sin ax $ +i $ C\sin ax+E\cos ax $ }$

ところで

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}}{e}^{ iax }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}} $ \cos ax+i\sin ax $ }$ 　　　（∵オイラーの公式）

であるので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f $D$ \hspace{2}} $ \cos ax+i\sin ax $ }$ $3$\displaystyle{ = $ C\cos ax- E\sin ax $ +i $ C\sin ax+E\cos ax $ }$