平均値の定理

関数 $3$f$ が閉区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で連続，開区間 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ で微分可能ならば，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} f $b$ - f $a$ \hspace{2}}{\hspace{2} b- a \hspace{2}}={f}^{\prime } $c$ }$ 　　　 $3$\displaystyle{ $ a< c< b $ }$

となる $3$\displaystyle{c}$ が少なくとも1つ存在する．

$3$\displaystyle{\hspace{5}}a< c< b$ より

$3$\displaystyle{c=a+{\theta}h}$ ( $3$\displaystyle{h=b- a}$ ， $3$\displaystyle{0< {\theta}< 1}$ )

と置き換えると，平均値の定理は

関数 $3$f$ が閉区間 $3$\displaystyle{ \[ a,b \] }$ で連続，開区間 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ で微分可能ならば，

$3$\displaystyle{f $b$ - f $a$ ={f}^{\prime } $ a+{\theta}h $ h}$

となる $3$\displaystyle{{\theta}}$ が少なくとも1つ存在する

となる．

■証明

2点 $3$\displaystyle{ \left({ a,f\left({a}\right) }\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({ b,f\left({b}\right) }\right) }$ を結ぶ線分をグラフとする関数 $3$\displaystyle{ g\left({x}\right) }$ は

$3$\displaystyle{ g\left({x}\right)=f\left({a}\right) }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2} f\left({b}\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} b- a \hspace{2}}\left({ x- a }\right)\text{\hspace{5}} }$ $3$\displaystyle{ \left({ a\leq x\leq b }\right) }$

となる．

$3$\displaystyle{ h\left({x}\right)=f\left({x}\right)- g\left({x}\right) }$

$3$\displaystyle{ =f\left({x}\right)- f\left({a}\right) }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2} f\left({b}\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} b- a \hspace{2}}\left({ x- a }\right) }$ 　･････(1)

とおく．

仮定より，関数 $3$\displaystyle{ h\left({x}\right) }$ は閉区間 $3$\displaystyle{ \left[{ a,b }\right] }$ で連続，開区間 $3$\displaystyle{ \left({ a,b }\right) }$ で微分可能である．
$3$\displaystyle{ h\left({a}\right)=f\left({a}\right)- f\left({a}\right) }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2} f\left({b}\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} b- a \hspace{2}}\left({ a- a }\right)=0 }$
$3$\displaystyle{ h\left({b}\right)=f\left({b}\right)- f\left({a}\right) }$ $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2} f\left({b}\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} b- a \hspace{2}}\left({ b- a }\right)=0 }$

$3$\displaystyle{ h\left({x}\right) }$ はi，ii，iiiよりロルの定理の条件を満たしている．よって

「 $3$\displaystyle{ {h}^{\prime }\left({c}\right)=0 }$ となるとなる $3$\displaystyle{ c\text{ }\left({ a< c< b }\right) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
が少なくとも1つ存在する．」　･････(2)

(1)より

$3$\displaystyle{ {h}^{\prime }\left({x}\right)={f}^{\prime }\left({x}\right)- \frac{\hspace{2} f\left({b}\right)- f\left({a}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} b- a \hspace{2}} }$ 　･････(3)

となり，(2)を(3)を使って書き換えると平均値の定理を得る．

【参考図書】
Calculus 7E 著者：James Stewart　出版社：Brooks/Cole Pub Co

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最終更新日：2025年6月30日