微分と積分の順序交換

領域 $3$\displaystyle{D}$ において $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ が連続で， $3$\displaystyle{y}$ で偏微分可能であるならば，

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $ x,y $ dx }=\displaystyle{ \int _{a}^{b} \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ dx }}$

が成り立つ．

■証明

$3$\displaystyle{F $y$ =\displaystyle{ \int _{a}^{b} f $ x,y $ dx }}$ とおく

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} \int _{a}^{b} f $ x,y $ dx }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}F $y$ }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} F $ y+k $ - F $y$ \hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \displaystyle{ \int _{a}^{b} f $ x,y+k $ dx }- \displaystyle{ \int _{a}^{b} f $ x,y $ dx } \hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} \{ f $ x,y+k $ - f $ x,y $ \} dx }}$ (積分の線形性より)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ =\hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ }$ とおく．平均値の定理より

$3$\displaystyle{f $ x,y+k $ - f $ x,y $ =\hspace{1}{f}_{y} $ x,y+{\theta}k $ k}$ $3$\displaystyle{}$ $3$\displaystyle{ $ 0< {\theta}< 1 $ }$

となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} \{ f $ x,y+k $ - f $ x,y $ \} dx }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}k\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{a}^{b} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y+{\theta}k $ kdx }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\displaystyle{ \int _{a}^{b} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y+{\theta}k $ dx }}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{b} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dx }=\hspace{1}{F}_{y} $ x,y $ }$ とおくと

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\displaystyle{ \int _{a}^{b} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y+{\theta}k $ dx }}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\hspace{1}{F}_{y} $ x,y+{\theta}k $ }$

$3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ が連続で， $3$\displaystyle{y}$ で偏微分可能であるので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{F}_{y} $ x,y $ }$ は連続関数となる．よって

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ k\rightarrow 0 }\hspace{1}{F}_{y} $ x,y+{\theta}k $ =\hspace{1}{F}_{y} $ x,y $ }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{b} \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ dx }=\displaystyle{ \int _{a}^{b} \hspace{1}{f}_{y} $ x,y $ dx }}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{F}_{y} $ x,y $ }$ ･･････(2)

(1)，(2)より

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最終更新日： 2025年6月30日