陰関数の微分

■ $3$\displaystyle{ f $ x,y $ }$ を2変数の関数とするとき

2変数 $3$\displaystyle{ x,y \text{\hspace{1} }}$ の間に

$3$\displaystyle{ f $ x,y $ =0 }$

のような関係がある場合， $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ の関数（陰関数）と考えて，与式の両辺を $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ で微分すれば

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}f\left({ x,y\left({x}\right) }\right)=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}0\text{\hspace{1}}}$

すなわち

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{f}_{x}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

となる． $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\hspace{1}{f}_{y}\neq 0}$ のとき

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$

さらに

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{ xx }f_{y}^{2}- 2\hspace{1}{f}_{ xy }\hspace{1}{f}_{x}\hspace{1}{f}_{y}+\hspace{1}{f}_{ yy }f_{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} f_{y}^{3} \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒導出

となる．

■ $3$\displaystyle{f $ x,y,z $ }$ の3変数の関数とするとき

$3$\displaystyle{ x,y,z \text{\hspace{1} }}$ の間に

$3$\displaystyle{f $ x,y,z $ =0}$

のような関係がある場合， $3$\displaystyle{z\text{\hspace{1} }}$ を $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ と $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ の関数（陰関数）と考えると

$3$\displaystyle{f $ x,y,z \( x,y $ \) =0}$

とあらわすことができる．この両辺を $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1} }}$ および $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1} }}$ で偏微分すれば

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}+\hspace{1}{f}_{z}\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}+\hspace{1}{f}_{z}\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0}$

となる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{z}\neq 0}$ のとき

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{z} \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{z} \hspace{2}}}$

となる．

ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>偏微分>>陰関数の微分

最終更新日： 2024年5月25日