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極座標表示におけるラプラシアン (3次元)
関数
において極座標表示
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
におけるラプラシアンは
で与えられる．
■導出手順
与式の左辺の
，
，
を求め
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
を用いて右辺へ式変形する．
■導出
始めに，関数
を
で偏微分する．参考:合成関数の偏導関数
ここで
より
さらに
である．従って
･･････(1)
次に
，
，
，
，
，
を具体的に求めて(1)を式変形する．
始めに
，
の両辺を2乗して加えると
となり，これを整理すると 参考：三角関数の相互関係
よって
となる．ここで
の関係より，左辺を
で，右辺を
割って
･･････(2)
とする．次に
，
の関係から
･･････(3)
が得られる．さらに
，
，
の辺々を2乗して足すことにより
･･････(4)
が得られる．上記の(2)，(3)，(4) を用いて
，
，
，
，
，
を求める．
(4)の両辺を
で偏微分して
･･････(5)
が得られる．(3)の両辺を
で偏微分して
･･････(6)
が得られる．(2)の両辺を
で偏微分して
･･････(7)
が得られる．
(5)を代入して
(7)，(6)を代入して
･･････(8)
が得られる．
(7)を代入して
(5)，(7)，(6)を代入して
･･････(9)
が得られる．
(6)を代入して
(5)，(7)，(6)を代入して
･･････(10)
ここで，(2)〜(10)を用いて(1)を式変形すると
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(11)
が得られる．
同様にして(詳しくはこちら)
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(12)
が得られる．
同様にして（詳しくはこちら）
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
･･････(13)
が得られる．
(11)，(12)，(13)を足し合わせると
となり，示された．
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最終更新日：2025年1月6日