関数が増加する場合の微分係数の値

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ が増加している区間では，微分係数 $3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ }$ は

$3${f}^{\prime } $x$ > 0$

となる．

■証明

関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ が増加している区間の任意の２つの数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ において， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< \hspace{1}{x}_{2}}$ のとき

$3$f $ \hspace{1}{x}_{1} $ < f $ \hspace{1}{x}_{2} $$

であるので

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1}> 0}$ ， $3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{x}_{2} $ - f $ \hspace{1}{x}_{1} $ > 0}$

となる．

よって， $3$x$ の値が $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ から $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ に変化したときの平均変化率の値は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} f $ \hspace{1}{x}_{2} $ - f $ \hspace{1}{x}_{1} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \hspace{2}}> 0}$

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ に限りなく近づけると，平均変化率の値は，関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ の $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ における微分係数となる．式で表すと

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{1} $ ={ \lim }\limits_{ \hspace{1}{x}_{2}\rightarrow \hspace{1}{x}_{1} }\frac{\hspace{2} f $ \hspace{1}{x}_{2} $ - f $ \hspace{1}{x}_{1} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{x}_{2}- \hspace{1}{x}_{1} \hspace{2}}}$

となる．

一方， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{2}}$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ に限りなく近づけても， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}< \hspace{1}{x}_{2}}$ ならば $3$\displaystyle{f $ \hspace{1}{x}_{1} $ < f $ \hspace{1}{x}_{2} $ }$ の関係は保たれる．

よって

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $ \hspace{1}{x}_{1} $ > 0}$

が成り立つ．関数が増加している区間の任意の数 $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{1}}$ を $3$x$ で置き換えてもよい．

したがって，関数 $3$\displaystyle{f $x$ }$ が増加している区間では，微分係数 $3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ }$ は

$3${f}^{\prime } $x$ > 0$

が成り立つ．

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最終更新日： 2023年5月30日