対角化可能であるための条件　その1

定理

$3$\displaystyle{n}$ 次正方行列 $3$\displaystyle{A}$ において，1次独立な $3$\displaystyle{n}$ 個の固有ベクトルが存在するとき， $3$\displaystyle{A}$ は対角化可能である．

■証明

$3$\displaystyle{A}$ の1次独立な $3$\displaystyle{n}$ の固有ベクトルを， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n}}$ とする．固有値・固有ベクトルの定義より

$3$\displaystyle{A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}=\hspace{1}{{\lambda}}_{i}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}}$ 　（ $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{i}}$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}}$ に対応する固有値， $3$\displaystyle{i=1,2,3,\cdots ,n}$ ）･･････(1)

の関係がある．

$3$\displaystyle{n}$ 次正方行列 $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ を2通り方法で表すことにする．

●方法1

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{=A\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ とおくと

となる．

●方法2

(1)より

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & \hspace{1}{{\lambda}}_{2}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{{\lambda}}_{n}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & &0& \vspace{6}\\ \vdots & &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&0&\cdots & \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

$3$\displaystyle{D=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & &0& \vspace{6}\\ \vdots & &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ 0&0&\cdots & \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となる．

(2)，(3)より

$3$\displaystyle{AP=PD}$ 　･･････(4)

となる．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n}}$ が1次独立であることより， $3$\displaystyle{P}$ は，この定理より， $3$\displaystyle{\left|{P}\right|\neq 0}$ となり，逆行列が存在する．(4)の両辺に左から $3$\displaystyle{P}$ の逆行列 $3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }}$ をかけると

$3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP={P}^{ - 1 }PD}$

$3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP=D}$

となる．したがって， $3$\displaystyle{A}$ は $3$\displaystyle{P}$ により対角化が可能である．

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最終更新日：2022年7月19日

対角化可能であるための条件 その1

定理

■証明

●方法1

●方法2

対角化可能であるための条件　その1