対角化可能であるための条件　その2

定理

$3$\displaystyle{n}$ 次正方行列 $3$\displaystyle{A}$ において， $3$\displaystyle{n}$ 個の相異なる固有値が存在するとき， $3$\displaystyle{A}$ は対角化可能である．

■証明

$3$\displaystyle{n}$ 次正方行列 $3$\displaystyle{A}$ の $3$\displaystyle{n}$ 個の相異なる固有値を， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{n}}$ とし，各固有値に対応する $3$\displaystyle{n}$ の固有ベクトルを， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{n}}$ とする．固有値・固有ベクトルの定義より

$3$\displaystyle{A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}=\hspace{1}{{\lambda}}_{i}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}}$ 　（ $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}}$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{i}}$ に対応する固有値， $3$\displaystyle{i=1,2,3,\cdots ,n}$ ）･･････(1)

の関係がある．

数学的帰納法により証明する．

$3$\displaystyle{k=1}$ のとき，すなわち，1個の固有ベクトル $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1} }$ のみのとき，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}=\displaystyle{0}}$ ･･････(2)

とおく．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ は固有ベクトルであることより， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}\neq \displaystyle{0}}$ である．よって，(1)が成り立つためには，

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{c}^{\prime }}_{1}=0}$

となり，

1個の固有ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ は1次独立ある．　･･････(3)

$3$\displaystyle{k=m< n}$ のとき，すなわち， $3$\displaystyle{m}$ の固有ベクトル， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ のとき，

これらの固有ベクトルの組が1次独立であると仮定する．　･･････(4)

$3$\displaystyle{k=m+1}$ のとき，すなわち， $3$\displaystyle{m+1}$ の固有ベクトル， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }}$ のとき

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}+\cdots +\hspace{1}{c}_{m}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }=\displaystyle{0}}$ 　･･････(5)

とおく．(5)の両辺に左から $3$\displaystyle{A}$ をかけると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{m}A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{ m+1 }A\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }=A\displaystyle{0}}$

となり，(1)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{{\lambda}}_{1}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{{\lambda}}_{2}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}\hspace{1}{{\lambda}}_{2}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{m}\hspace{1}{{\lambda}}_{m}\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{ m+1 }\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }=\displaystyle{0}}$ 　･･････(6)

が得られる．次に，(5)の両辺に $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }}$ をかけると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ $3$\displaystyle{+\cdots +\hspace{1}{c}_{m}\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{ m+1 }\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }=\displaystyle{0}}$ 　･･････(7)

(7)−(6)より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{1} }\right)\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{2} }\right)\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{c}_{3}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{3} }\right)\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ $3$\displaystyle{+\cdots +\hspace{1}{c}_{m}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{m} }\right)\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}=\displaystyle{0}}$ 　･･････(8)

が得られる． $3$\displaystyle{m}$ 個の固有ベクトル， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ の組が1次独立であるので，(8)が成り立つためには

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{1} }\right)=\hspace{1}{c}_{2}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{2} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{c}_{3}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{3} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\cdots =\hspace{1}{c}_{m}\left({ \hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{m} }\right)=0}$

でなければならない． $3$\displaystyle{n}$ 個の固有値は相異なるので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{ m+1 }- \hspace{1}{{\lambda}}_{i}\neq 0}$ （ $3$\displaystyle{i=1,2,3,\cdots ,m}$ ）である．よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1}=\hspace{1}{c}_{2}=\hspace{1}{c}_{3}=\cdots =\hspace{1}{c}_{m}=0}$ 　･･････(9)

となる．(9)を(5)に代入すると

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ m+1 }\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }=\displaystyle{0}}$ 　･･････(10)

となる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }\neq \displaystyle{0}}$ より

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{ m+1 }=0}$ 　･･････(11)

となる．(9),(11)より，(5)が成り立つためには，(5)の左辺の $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{i}}$ （ $3$\displaystyle{i=1,2,3,\cdots ,m,m+1}$ ）の係数がすべてゼロになる．すなわち

(4)の仮定においては， $3$\displaystyle{m+1}$ の固有ベクトル， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{m}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{ m+1 }}$ の組は1次独立となる．

以上より， $3$\displaystyle{A}$ が $3$\displaystyle{n}$ 個の相異なる固有値が存在するとき， $3$\displaystyle{m}$ の固有ベクトル， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{3}}$ ，･･･， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\displaystyle{x}}_{k}}$ の組は1次独立である．ただし， $3$\displaystyle{k=1,2,3,\cdots ,n}$ である．

すなわち， $3$\displaystyle{n}$ 次正方行列 $3$\displaystyle{A}$ において， $3$\displaystyle{n}$ 個の相異なる固有値が存在するとき，1次独立な $3$\displaystyle{n}$ 個の固有ベクトルが存在する．

したがって，この定理より $3$\displaystyle{A}$ は対角化可能である．

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最終更新日：2022年7月19日

対角化可能であるための条件 その2

定理

■証明

対角化可能であるための条件　その2