実対称行列の対角化

■定理

実対称行列 $3$\displaystyle{A}$ は適当な直交行列 $3$\displaystyle{P}$ により対角化可能である.

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{\begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} &0&\cdots &0& \vspace{6}\\ 0& \hspace{1}{{\lambda}}_{2} &\ddots &\vdots & \vspace{6}\\ \vdots &\ddots &\ddots &0& \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array}}P\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}AP=\left({ }\right)$

■証明

$3$\displaystyle{n}$ 次正方行列は，適当な直交行列 $3$\displaystyle{P}$ により三角化できる(定理)ことより

$3$\displaystyle{ {P}^{ - 1 }AP=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &*& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ 　･･････(1)

が成り立つ．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}\left({ {P}^{ - 1 }AP }\right)\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{{P}^{ - 1 }}t}=\hspace{1}{}_{}^{}\left({ AP }\right)_{}^{}t$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{}^{}Pt_{}^{}t}\hspace{1}{}_{}^{}At_{}^{}t$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{}^{}Pt_{}^{}t}AP$

(∵ $3$\displaystyle{P}$ が直交行列なので， $3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}t}$ ． $3$\displaystyle{A}$ が実対称行列なので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}A\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=A$ $3$\displaystyle{={P}^{ - 1 }AP}$ )

より， $3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP}$ は実対称行列である.したがって，(1)は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}P\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{ \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ }t}\hspace{1}{}_{\begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array}}^{}At_{}^{}t$

となる．

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最終更新日：2022年9月3日