三角行列の対角化

■定理

$3$\displaystyle{n}$ 次正方行列 $3$\displaystyle{A}$ は，適当な直交行列 $3$\displaystyle{P}$ により三角化できる．すなわち，

$3$\displaystyle{ {P}^{ - 1 }AP=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &*& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{\lambda}}_{n} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ 　･･････(1)

と変形できる．

証明

帰納法で証明する．

$3$\displaystyle{ n=1 }$ のときは(1)は明らかに成り立つ．

$3$\displaystyle{ n=k }$ のとき(1)が成り立つと仮定する．

$3$\displaystyle{ { \left({{T}^{\prime }}\right) }^{ - 1 }\hspace{1}{{A}^{\prime }}_{k}{T}^{\prime }=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{1} & & &*& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{k} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ 　･･････(2)

( $3$\displaystyle{{T}^{\prime }}$ は直交行列， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{A}^{\prime }}_{k} }$ は $3$\displaystyle{k}$ 次の正方行列)

すなわち，(2)が成り立つ．

$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array} \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{1} & & &*& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{k} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ の固有値は，対角要素になり， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{2} }$ ，…， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{k} }$ になる．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{A}^{\prime }}_{k} }$ と $3$\displaystyle{ \left({ \begin{array} \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{1} & & &*& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{{\lambda}}^{\prime }}_{k} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ は相似であるので，固有値は一致する．

$3$\displaystyle{ k+1 }$ 次の正方行列 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{ k+1 } }$ の一つの固有値を $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } }$ とし， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } }$ に対応する大きさが1の固有ベクトルを $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } }$ とする．次に $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } }$ を第 $3$\displaystyle{ k+1 }$ 列の成分とする直行行列を $3$\displaystyle{Q}$ とする．

$3$\displaystyle{ Q=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

と表すことにする．

$3$\displaystyle{AQ=A\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} A\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} & A\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} &\cdots & A\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} A\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} & A\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 }\hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{1} & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{2} &\cdots & \hspace{1}{\displaystyle{a}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{A}_{k} & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ *&\cdots &*& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{AQ=Q\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{A}_{k} & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ *&\cdots &*& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　･･････(3)

(3)の両辺に左から $3$\displaystyle{ {Q}^{ - 1 } }$ を掛ける．

$3$\displaystyle{ {Q}^{ - 1 }AQ=\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{A}_{k} & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ *&\cdots &*& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ 　･･････(4)

( $3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{k} }$ は $3$\displaystyle{ k }$ 次の正方行列)

という関係が成り立つ．

帰納法における仮定(2)より

$3$\displaystyle{ {T}^{ - 1 }\hspace{1}{A}_{k}{T}^{\prime }=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &*& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} & & & \vspace{6}\\ & &\ddots & & \vspace{6}\\ 0& & & \hspace{1}{{\lambda}}_{k} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ 　･･････(5)

( $3$\displaystyle{T}$ は直交行列， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{k} }$ は $3$\displaystyle{k}$ 次の正方行列)

が成り立つ．

ここで，

$3$\displaystyle{ R=\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ &T& &\vdots & \vspace{6}\\ & & &0& \vspace{6}\\ 0&\cdots &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

を導入し，

$3$\displaystyle{ S=RQ }$

と置く．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{Q}^{}S\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{R}t}S=\hspace{1}{}_{}^{}\left({ RQ }\right)_{RQ}^{}t$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{}^{}Qt_{}^{}t}\hspace{1}{}_{}^{}Rt_{}^{}t$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{}^{}Qt_{}^{}t}EQ$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{}_{}^{}Qt_{}^{}t}Q$ $3$\displaystyle{=E}$

(∵ $3$\displaystyle{R}$ ， $3$\displaystyle{Q\hspace{5}}$ は直交行列であるので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}R\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}R=E$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}Q\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}Q=E$ となる．)

$3$\displaystyle{{S}^{ - 1 }AS=\hspace{1}{}_{}^{}S_{}^{}t}AS$

(∵ $3$\displaystyle{S}$ が直交行列であるので， $3$\displaystyle{{S}^{ - 1 }=\hspace{1}{}_{}^{}S_{}^{}t}$ )

$3$\displaystyle{=\left({ {R}^{ - 1 }{Q}^{ - 1 } }\right)\hspace{1}{A}_{ k+1 }\left({ QR }\right)}$

(∵ $3$\displaystyle{Q}$ ， $3$\displaystyle{R}$ が直交行列であるので， $3$\displaystyle{{Q}^{ - 1 }=\hspace{1}{}_{}^{}Q_{}^{}t}$ ， $3$\displaystyle{{R}^{ - 1 }=\hspace{1}{}_{}^{}R_{}^{}t}$ ，よって， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}S\hspace{5}\hspace{5}_{t}^{}t}=\hspace{1}{}_{}^{}\left({ QR }\right)_{}^{}t$ ）

$3$\displaystyle{={R}^{ - 1 }\left({ {Q}^{ - 1 }\hspace{1}{A}_{ k+1 }Q }\right)R}$

(4)より

$3$\displaystyle{={R}^{ - 1 }\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{A}_{k} & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ *&\cdots &*& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)R}$

$3$\displaystyle{={\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ &T& &\vdots & \vspace{6}\\ & & &0& \vspace{6}\\ 0&\cdots &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}^{ - 1 }\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{A}_{k} & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ *&\cdots &*& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ &T& &\vdots & \vspace{6}\\ & & &0& \vspace{6}\\ 0&\cdots &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

(参考： $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} {T}^{ - 1 } &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}T&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} {T}^{ - 1 }T &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}E&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ，よって， $3$\displaystyle{{\left({ \begin{array}T&0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}^{ - 1 }=\left({ \begin{array} {T}^{ - 1 } &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ )

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & {T}^{ - 1 } & &\vdots & \vspace{6}\\ & & &0& \vspace{6}\\ 0&\cdots &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & \hspace{1}{A}_{k} & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ *&\cdots &*& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ &T& &\vdots & \vspace{6}\\ & & &0& \vspace{6}\\ 0&\cdots &0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} & & &0& \vspace{6}\\ & {T}^{ - 1 }\hspace{1}{A}_{k}T & &0& \vspace{6}\\ & & &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &0& \vspace{6}\\ &\ddots & &0& \vspace{6}\\ & & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

すなわち

$3$\displaystyle{ {S}^{ - 1 }\hspace{1}{A}_{ k+1 }S }$ $3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} & & &0& \vspace{6}\\ &\ddots & &0& \vspace{6}\\ & & \hspace{1}{{\lambda}}_{2} &\vdots & \vspace{6}\\ 0&\cdots &0& \hspace{1}{{\lambda}}_{ k+1 } & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$

となり， $3$\displaystyle{ n=k+1 }$ でも成り立つ．

以上より，（1）は， $3$\displaystyle{n}$ がすべての自然数で成り立つ．

ホーム>>カテゴリー別分類>>行列>>線形代数>>三角行列の対角化

最終更新日：2022年9月3日