KIT Mathematics Navigation
(which is translated by google translate from Japanese to other language)

number & formula	function	geometry	power & logarithm	vector	trigonometric function
complex number	derivation	integration	probability	matrix	others

(行列の)相似

$3$\displaystyle{n}$ の正方行列 $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ において

$3$\displaystyle{B={P}^{ - 1 }AP}$

となる $3$\displaystyle{P}$ が存在するとき， $3$\displaystyle{A}$ と $3$\displaystyle{B}$ は相似であるという．

■相似の性質

相似である $3$\displaystyle{n}$ の正方行列 $3$\displaystyle{A}$ ， $3$\displaystyle{B}$ の固有値は一致する.

●証明

行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有方程式を $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{A}\left({x}\right)}$ ，行列 $3$\displaystyle{B}$ の固有方程式を $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{B}\left({x}\right)}$ とする．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{B}\left({x}\right)=\left|{ xE- B }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ xE- {P}^{ - 1 }AP }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ xEE- {P}^{ - 1 }AP }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ xE\left({ {P}^{ - 1 }P }\right)- {P}^{ - 1 }AP }\right|}$

( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ $3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }P=E}$ )

$3$\displaystyle{=\left|{ {P}^{ - 1 }xEP- {P}^{ - 1 }AP }\right|}$

(∵行列の計算則)

$3$\displaystyle{=\left|{ {P}^{ - 1 }\left({ xE- A }\right)P }\right|}$

$3$\displaystyle{=\left|{ {P}^{ - 1 } }\right|\left|{ xE- A }\right|\left|{P}\right|}$

(∵行列の積の行列式)

$3$\displaystyle{=\left|{ xE- A }\right|}$

(∵ $3$\displaystyle{\left|{ {P}^{ - 1 }P }\right|=\left|{ {P}^{ - 1 } }\right|\left|{P}\right|}$ ， $3$\displaystyle{\left|{ {P}^{ - 1 }P }\right|=\left|{E}\right|=1}$ よって， $3$\displaystyle{\left|{ {P}^{ - 1 } }\right|\left|{P}\right|=1}$ )

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{A}\left({x}\right)}$

すなわち

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{B}\left({x}\right)=\hspace{1}{f}_{A}\left({x}\right)}$

となる.

行列 $3$\displaystyle{A}$ と行列 $3$\displaystyle{B}$ の固有多項式が等しくなるので，固有方程式は同じになり，行列 $3$\displaystyle{A}$ と行列 $3$\displaystyle{B}$ の固有値は一致する．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>(行列の)相似

最終更新日：2022年8月23日

　　　　　　　　