対角化の具体例

$3$\displaystyle{A=\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 2&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ を対角化する．（対角化可能であるための条件その1を参照）

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 2&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ の固有値，固有ベクトル（ここを参照）は

$3$\displaystyle{{\lambda}=- 1}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}=c\left({ \begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ （ $3$\displaystyle{c\neq 0}$ ）

$3$\displaystyle{{\lambda}=4}$ に対応する固有ベクトル $3$\displaystyle{\displaystyle{x}=c\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{c\neq 0}$ ）

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ が1次独立であるか調べる．

$3$\displaystyle{\left|{ \begin{array} - 3 &1& \vspace{6}\\ 2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right|=- 3- 2=- 5\neq 0}$

より， $3$\displaystyle{\left({ \begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ は1次独立である．固有ベクトルを列ベクトルとする行列 $3$\displaystyle{P}$ を作る.

$3$\displaystyle{P=\left({ \begin{array} - 3 &1& \vspace{6}\\ 2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

とおくと

$3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\left({ \begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となる．

$3$\displaystyle{{P}^{ - 1 }AP}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\left({ \begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}1&3& \vspace{6}\\ 2&2& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} - 3 &1& \vspace{6}\\ 2&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\left({ \begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ - 2 & - 3 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}3&4& \vspace{6}\\ - 2 &4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\left({ \begin{array}5&0& \vspace{6}\\ 0& - 20 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&4& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となり，対角化できた．

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>対角化の具体例

最終更新日：2022年7月21日