次数下げの計算例1

ここでは，行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す．

■問題

次の行列式を求めよ．ただし，答は因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&a& {a}^{2} & \vspace{6}\\ 1&b& {b}^{2} & \vspace{6}\\ 1&c& {c}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■解法

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&a& {a}^{2} & \vspace{6}\\ 1&b& {b}^{2} & \vspace{6}\\ 1&c& {c}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算を行う．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1&a& {a}^{2} & \vspace{6}\\ 1+1\times \left({ - 1 }\right) & b+a\times \left({ - 1 }\right) & {b}^{2}+{a}^{2}\times \left({ - 1 }\right) & \vspace{6}\\ 1+1\times \left({ - 1 }\right) & c+a\times \left({ - 1 }\right) & {c}^{2}+{a}^{2}\times \left({ - 1 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1&a& {a}^{2} & \vspace{6}\\ 0& b- a & {b}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ 0& c- a & {c}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

$3$\displaystyle{=1\times \| \begin{array} b- a & {b}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ c- a & {c}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

3列の成分を因数分解する．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} b- a & $ b- a $ $ b+a $ & \vspace{6}\\ c- a & $ c- a $ $ c+a $ & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

定数倍の性質より，2行の $3$\displaystyle{ $ b- a $ }$ と，3行の $3$\displaystyle{ $ c- a $ }$ を行列式の外にくくり出す．

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ \| \begin{array}1& b+a & \vspace{6}\\ 1& c+a & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値を求める．

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ \{ 1\times $ c+a $ - 1\times $ b+a $ \} }$

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ $ c+a- b- a $ }$

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ $ c- b $ }$

$3$\displaystyle{ =\left({ a- b }\right)\left({ b- c }\right)\left({ c- a }\right) }$

・1行目の1列目の成分以外を0にしてから解く方法

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}1&a& {a}^{2} & \vspace{6}\\ 1&b& {b}^{2} & \vspace{6}\\ 1&c& {c}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1行目の1列目以外の成分を0にするため，行列式の計算則を利用し，2列+1列 $3$\displaystyle{ \times \left({ - a }\right) }$ ，3列+1列 $3$\displaystyle{ \times \left({ - {a}^{2} }\right) }$ の計算を行う．

$3$\displaystyle{ =\left|{ \begin{array}1& a+1\times \left({ - a }\right) & {a}^{2}+1\times \left({ - {a}^{2} }\right) & \vspace{6}\\ 1& b+1\times \left({ - a }\right) & {b}^{2}+1\times \left({ - {a}^{2} }\right) & \vspace{6}\\ 1& c+1\times \left({ - a }\right) & {c}^{2}+1\times \left({ - {a}^{2} }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 1& b- a & {b}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ 1& c- a & {c}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

$3$\displaystyle{=1\times \| \begin{array} b- a & {b}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ c- a & {c}^{2}- {a}^{2} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

3列の成分を因数分解する．

$3$\displaystyle{= \| \begin{array} b- a & $ b- a $ $ b+a $ & \vspace{6}\\ c- a & $ c- a $ $ c+a $ & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

定数倍の性質より，2行の共通因数 $3$\displaystyle{ $ b- a $ }$ と，3行の共通因数 $3$\displaystyle{ $ c- a $ }$ を行列式の外にくくり出す．

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ \| \begin{array}1& b+a & \vspace{6}\\ 1& c+a & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値を求める．

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ \{ 1\times $ c+a $ - 1\times $ b+a $ \} }$

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ $ c+a- b- a $ }$

$3$\displaystyle{= $ b- a $ $ c- a $ $ c- b $ }$

$3$\displaystyle{ =\left({ a- b }\right)\left({ b- c }\right)\left({ c- a }\right) }$

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最終更新日： 2025年4月22日