次数下げの計算例2

ここでは，行列式の次数下げの計算を具体的に使用した例を示す．

■問題

次の行列式を求めよ．ただし，答は因数分解された形で示せ．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ c&a&b& \vspace{6}\\ b&c&a& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■解法

・行列式の特徴を用いて解く方法

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ c&a&b& \vspace{6}\\ b&c&a& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

各行の成分の総和が等しいことを利用して計算を容易にする．まず，行列式の計算則を利用し，1列+2列を行った後，さらに，1列+3列を行う（この操作を1列＋2列＋3列と書くことにする）

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}&b&c& \vspace{6}\\ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}&a&b& \vspace{6}\\ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}&c&a& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1列目の成分がすべて $3$\displaystyle{ a+b+c }$ であるので定数倍の性質を利用して，1列目から $3$\displaystyle{ a+b+c }$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{ =\left({ a+b+c }\right)\left|{ \begin{array}1&b&c& \vspace{6}\\ 1& a- b & b- c & \vspace{6}\\ 1& c- b & a- c & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行×(-1)，3行+1行×(-1)の計算を行う．

$3$\displaystyle{ =\left({ a+b+c }\right)\left|{ \begin{array}1&b&c& \vspace{6}\\ 1+1\times \left({ - 1 }\right) & a+b\times \left({ - 1 }\right) & b+c\times \left({ - 1 }\right) & \vspace{6}\\ 1+1\times \left({ - 1 }\right) & c+b\times \left({ - 1 }\right) & a+c\times \left({ - 1 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{=\left({ a+b+c }\right)\left|{ \begin{array}1&b&c& \vspace{6}\\ 0& a- b & b- c & \vspace{6}\\ 0& c- b & a- c & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|}$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

$3$\displaystyle{= $ a+b+c $ \| \begin{array} a- b & b- c & \vspace{6}\\ c- b & a- c & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値を求める．

$3$\displaystyle{= $ a+b+c $ \{ $ a- b $ $ a- c $ - $ b- c $ $ c- b $ \} }$

$3$\displaystyle{= $ a+b+c $ $ {a}^{2}- ac- ab+bc- bc+{b}^{2}+{c}^{2}- bc $ }$

$3$\displaystyle{= $ a+b+c $ $ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}- ab- bc- ca $ }$

・1列目の1行目の成分以外を0にしてから解く方法

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ c&a&b& \vspace{6}\\ b&c&a& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

1列目の1行目の成分以外を0にするため，行列式の計算則を利用し，2行+1行 $3$\displaystyle{ \times \left({ - \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }$ ，3行+1行 $3$\displaystyle{ \times \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }$ の計算を行う．

$3$\displaystyle{ =\left|{ \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ c+a\times \left({ - \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) & a+b\times \left({ - \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) & b+c\times \left({ - \frac{\hspace{2}c\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) & \vspace{6}\\ b+a\times \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) & c+b\times \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) & a+c\times \left({ - \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{= \| \begin{array}a&b&c& \vspace{6}\\ 0& a- \frac{\hspace{2} bc \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & b- \frac{\hspace{2} {c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & \vspace{6}\\ 0& c- \frac{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & a- \frac{\hspace{2} bc \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

次数下げの計算を用い，3次の正方行列を2次の正方行列に次数を下げる．

$3$\displaystyle{=a \| \begin{array} a- \frac{\hspace{2} bc \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & b- \frac{\hspace{2} {c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & \vspace{6}\\ c- \frac{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & a- \frac{\hspace{2} bc \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値を求める．

$3$\displaystyle{=a \{ { $ a- \frac{\hspace{2} bc \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ }^{2}- $ b- \frac{\hspace{2} {c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ $ c- \frac{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{=a \{ $ {a}^{2}- 2bc+\frac{\hspace{2} {b}^{2}{c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}} $ - $ bc- \frac{\hspace{2} {b}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {c}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {b}^{2}{c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}} $ \} }$

$3$\displaystyle{=a $ {a}^{2}- 2bc+\frac{\hspace{2} {b}^{2}{c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}- bc+\frac{\hspace{2} {b}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {c}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {b}^{2}{c}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=a $ {a}^{2}+\frac{\hspace{2} {b}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {c}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}- 3bc $ }$

$3$\displaystyle{={a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}- 3abc}$

因数分解の公式を用いて因数分解を行う．

$3$\displaystyle{= $ a+b+c $ $ {a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}- ab- bc- ca $ }$

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最終更新日： 2022年8月27日