カイ2乗分布

連続型確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が確率密度関数

$3$\displaystyle{f $x$ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }{\Gamma} $ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 }{e}^{ - \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } $ x> 0;n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot $ }$

をもつとき， $3$\displaystyle{X}$ は自由度 $3$n$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従うという．

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が自由度 $3$n$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従うとき

平均： $3$\displaystyle{E\left({X}\right)=n}$

分散： $3$\displaystyle{V\left({X}\right)=2n}$

である．

■性質

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が $3$\displaystyle{N $ 0,1 $ }$ に従うとき，確率変数 $3$\displaystyle{{X}^{2}}$ は自由度１の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従う．
確率変数 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }$ が互いに独立で，すべて $3$\displaystyle{N $ 0,1 $ }$ に従うとき
$3$\displaystyle{\hspace{1}{X}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{X}_{2}{ }^{2}+\cdots +\hspace{1}{X}_{n}{ }^{2}}$
は自由度 $3$n$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従う．
確率変数 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{1},\hspace{1}{X}_{2},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{X}_{n} }$ が互いに独立で，すべて $3$\displaystyle{N\left({ {\mu},{{\sigma}}^{2} }\right)}$ に従うとき，標準化した $3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{i}=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{X}_{i}- {\mu} \hspace{2}}{\hspace{2}{\sigma}\hspace{2}}}$ から成る
$3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{1}{ }^{2}+\hspace{1}{Y}_{2}{ }^{2}+\cdots +\hspace{1}{Y}_{n}{ }^{2}}$
は自由度 $3$n$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従う．
確率変数 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{1} }$ と $3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{2} }$ が互いに独立で，それぞれ自由度 $3$m$ ， $3$n$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従うとき

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{X}_{1}+\hspace{1}{X}_{2} }$

は自由度 $3$\displaystyle{ $ m+n $ }$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従う．
$3$X$ ， $3$Y$ は互いに独立な確率変数で，それぞれ $3$\displaystyle{ N $ 0,1 $ }$ と自由度 $3$\displaystyle{n}$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従うとき

$3$\displaystyle{T=\frac{\hspace{2}X\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2}Y\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}}}$

は自由度 $3$n$ は $3$t$ 分布に従う．

■ $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布の確率密度関数

右上のスライダーの○印を動かすことにより自由度 $3$n$ を変更することができる．

■備考

$3$\displaystyle{P\left({ X\geq u }\right)=\displaystyle{ \int _{u}^{\infty} f\left({x}\right) }dx}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{u}^{\infty} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }{\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 }{e}^{ - \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }}$ $3$\displaystyle{=a}$

となる $3$u$ を $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}\hspace{1}{ }_{n}\left({a}\right)}$ と表すことにする．

■Excel教材

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最終更新日： 2025年4月27日

カイ2乗分布

■性質

■ 分布の確率密度関数

■備考

■Excel教材

■ $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布の確率密度関数