ポアソン分布

$3$\displaystyle{0,1,2,\cdot \cdot \cdot }$ の値をとる確率変数 $3$\displaystyle{X}$ の確率関数（確率分布）が

$3$\displaystyle{f $x$ ={e}^{ - {\lambda} }\frac{\hspace{2} {{\lambda}}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} x! \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ $ x=0,1,2,\cdot \cdot \cdot $ }$

となるものをポアソン分布といい，確率変数 $3$X$ はパラメータ $3$\displaystyle{{\lambda}}$ のポアソン分布 $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{0} ${\lambda}$ }$ に従うという．

ポアソン分布 $3$\displaystyle{\hspace{1}{P}_{0} ${\lambda}$ }$ について

平均： $3$\displaystyle{E\left({X}\right)={\lambda}}$

分散： $3$\displaystyle{V\left({X}\right)={\lambda}}$

である．

■導出

ポアソン分布は，二項分布 $3$ B\left({ n,p }\right)$ の

平均： $3$\displaystyle{E\left({X}\right)=np={\lambda}}$

を一定にして， $3$n\rightarrow \infty$ にすることによって得られる．

二項分布の確率関数

$3$\displaystyle{f $x$ = \hspace{1}{}_{}^{}C{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}_{xn}^{}x }$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{{\sum }\limits_{ x=1 }^{n} \frac{\hspace{2} xn! \hspace{2}}{\hspace{2} x!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{x}{q}^{ n- x } }}$ 　（組合わせ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}C{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}_{rn}^{}{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5} }$ を参照）

に， $3$\displaystyle{p=\frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}}$ を代入する．

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right) =\frac{\hspace{2} n! \hspace{2}}{\hspace{2} x!\left({ n- x }\right)! \hspace{2}}{p}^{x}{\left({ 1- p }\right)}^{ n- x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x! \hspace{2}}n\left({ n- 1 }\right)\left({ n- 2 }\right)\cdots \left({ n- x+1 }\right){p}^{x}{\left({ 1- p }\right)}^{ n- x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x! \hspace{2}}n\left({ n- 1 }\right)\left({ n- 2 }\right)\cdots \left({ n- x+1 }\right){\left({ \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{x}{\left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{ n- x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {{\lambda}}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} x! \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2} n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)\left({ \frac{\hspace{2} n- 2 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)\cdots \left({ \frac{\hspace{2} n- x+1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right){\left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{ n- x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {{\lambda}}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} x! \hspace{2}}\cdot 1\cdot \left({ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)\left({ 1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)\cdots \left({ 1- \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right){\left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{ - x }{\left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{n}}$

$3$ n\rightarrow \infty$ のとき

$3$\displaystyle{1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\rightarrow 1}$

$3$\displaystyle{1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\rightarrow 1}$

$3$\vdots$

$3$\displaystyle{1- \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\rightarrow 1}$

$3$\displaystyle{{\left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{ - x }\rightarrow 1}$

$3$\displaystyle{{\left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right)}^{n}}$ $3$\displaystyle{={\left{{ { \left({ 1- \frac{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }^{ - \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}} } }\right}}^{ - {\lambda} }\rightarrow {e}^{ - {\lambda} }}$ 　（∵自然対数の底 $3$e$ の定義）

備考： $3$x=0,1,2,\cdot \cdot \cdot$ となっているが， $3$\displaystyle{f\left({x}\right)}$ の値を求めるときは， $3$x$ は有限の値になっている．

となる．よって

$3$\displaystyle{f $x$ ={e}^{ - {\lambda} }\frac{\hspace{2} {{\lambda}}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} x! \hspace{2}}}$

が得られる．

ポアソン分布を導出するときの前提，「平均： $3$\displaystyle{{\lambda}=E\left({X}\right)=np}$ を一定にする」ことより

$3$\displaystyle{E\left({X}\right)={\lambda}}$

$3$n\rightarrow \infty$ のとき， $3$\displaystyle{{\lambda}=E\left({X}\right)=np}$ を一定より， $3$p\rightarrow 0$ ，さらに， $3$p+q=1$ より， $3$q\rightarrow 1$ となる．よって

$3$\displaystyle{V\left({X}\right)=npq={\lambda}\cdot 1={\lambda}}$

である．

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最終更新日： 2024年5月2日