t分布

連続型確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が確率密度関数

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\frac{\hspace{2} {\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2} n+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n{\pi} }{\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{ \left({ 1+\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }^{ - \frac{\hspace{2} n+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ \left({ n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot }\right) }$

をもつとき， $3$\displaystyle{X}$ は自由度 $3$n$ の $3$t$ 分布に従うという．

確率変数 $3$\displaystyle{X}$ が自由度 $3$n$ の $3$t$ 分布に従うとき

平均： $3$\displaystyle{ E\left({X}\right)=0 }$

分散： $3$\displaystyle{V\left({X}\right)=\frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2} n- 2 \hspace{2}}\text{\hspace{5}}\left({ n≧3 }\right)}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

である．

■性質

確率変数 $3$X$ が正規分布 $3$\displaystyle{ N\left({ 0,1 }\right) }$ に従い，確率変数 $3$Y$ が自由度 $3$n$ の $3$\displaystyle{{{\chi}}^{2}}$ 分布に従い，互いに独立であるとき
$3$\displaystyle{T=\frac{\hspace{2}X\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2}Y\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ \left({ n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot }\right) }$
は自由度 $3$n$ の $3$t$ 分布に従う．

■ $3$t$ 分布の確率密度関数

右上のスライダーの○印を動かすことにより自由度 $3$n$ を変更することができる．

■備考

$3$\displaystyle{P\left({ X\geq u }\right)=\displaystyle{ \int _{u}^{\infty} f\left({x}\right) }dx}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int _{u}^{\infty} \frac{\hspace{2} {\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2} n+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ n{\pi} }{\Gamma}\left({ \frac{\hspace{2}n\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{ \left({ 1+\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} }\right) }^{ - \frac{\hspace{2} n+1 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }}$ $3$\displaystyle{=a}$

となる $3$u$ を $3$\displaystyle{\hspace{1}{t}_{n}\left({a}\right)}$ と表すことにする．

■Excel教材

$3$t$ 分布の理解を深めるための教材をマイクロソフトのExcelで作成しました．⇒Excel教材

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最終更新日： 2025年4月27日

t分布

■性質

■ 分布の確率密度関数

■備考

■Excel教材

■ $3$t$ 分布の確率密度関数