2次曲線：無心の場合の標準化の例

例1） $3$\displaystyle{{x}^{2}- 2xy+{y}^{2}+4x+4y- 8}$ $3$\displaystyle{=0}$ はどのような2次曲線を表すか調べよ．

【解答】

$3$\displaystyle{ u$x,y$={x}^{2}- 2xy+{y}^{2}+4x+4y- 8=0 }$ ······

の係数より

$3$\displaystyle{ a=1,\text{ }b=- 1,\text{ }c=1,\text{ }d=2,\text{ }e=2,\text{ }f=- 8 }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

であり，これらを成分とする2つの対称行列

$3$\displaystyle{ A=$\begin{array}1&- 1& \vspace{6}\\ - 1&1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

$3$\displaystyle{ \tilde{A}=$\begin{array}1&- 1&2& \vspace{6}\\ - 1&1&2& \vspace{6}\\ 2&2&- 8& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

を考える．判別式

$3$\displaystyle{ {\Delta}=\|A\|=1\cdot 1- { $- 1$ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ ······

および，

$3$\displaystyle{ \tilde{{\Delta}}=\|\tilde{A}\|=\{1\cdot 1- { $- 1$ }^{2}\}\cdot $- 8$- \{1\cdot 2- $- 1$\cdot 2\}\cdot 2- \{1\cdot 2- $- 1$\cdot 2\}\cdot 2 }$

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=0- 8- 8=- 16 }$ ······

より，この2次曲線は無心で退化しない．また，行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{1}=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
, $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{2}=a+c}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=2}$ であり，

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\hspace{1}{λ}_{2}\hspace{2}}$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}$\begin{array}2& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}- 1& \vspace{6}\\ - 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

より，

$3$\displaystyle{ u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$={ $- 1$ }^{2}- 2$- 1$$- 1$+{ $- 1$ }^{2}+4$- 1$+4$- 1$- 8 }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=- 16 }$ ······

である．さらに，

$3$\displaystyle{ g=\frac{\hspace{2} ae- bd \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 1\cdot 2- $- 1$\cdot 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =2\sqrt{2} }$ ······

であり，2次曲線の標準化の【定理 2】より，与式の2次曲線は適当な座標変換 $3$\displaystyle{$x,y$↦$X,Y$}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
で

$3$\displaystyle{ 2{Y}^{2}- 4\sqrt{2}X- 16=0 }$ $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ $3$\displaystyle{ {Y}^{2}=2\sqrt{2}$X+2\sqrt{2}$ }$ ······

と変換できる．これは，頂点 $3$\displaystyle{$- 2\sqrt{2},0$}$ の放物線を表す．

行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{1}=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
, $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{2}=2}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
に対応する（大きさ $3$\displaystyle{1}$ の）固有ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}}$ は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}1- 0&- 1& \vspace{6}\\ - 1&1- 0& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}1&- 1& \vspace{6}\\ - 1&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ $3$\displaystyle{\Rightarrow }$ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{2}\hspace{2}}$\begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

$3$\displaystyle{ $\begin{array}1- 2&- 1& \vspace{6}\\ - 1&1- 2& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2} }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}- 1&- 1& \vspace{6}\\ - 1&- 1& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ $3$\displaystyle{\Rightarrow }$ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{2}\hspace{2}}$\begin{array}- 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

と求まる．よって， $3$\displaystyle{A}$ の対角化を与える（回転変換に対応させた）直交行列を

$3$\displaystyle{ P=$\begin{array}\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}&\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{2}\hspace{2}}$\begin{array}1&- 1& \vspace{6}\\ 1&1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}\cos 45^\circ &- \sin 45^\circ & \vspace{6}\\ \sin 45^\circ &\cos 45^\circ & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

と書けるので， $3$\displaystyle{$X,Y$↦$x,y$}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の変換は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$=P$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}\cos 45^\circ &- \sin 45^\circ & \vspace{6}\\ \sin 45^\circ &\cos 45^\circ & \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}- 1& \vspace{6}\\ - 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

と表せる．以上のことから，与式の2次曲線は，式の放物線を，原点を中心に $3$\displaystyle{45^\circ }$ 回転させた後，その原点を $3$\displaystyle{$- 1,- 1$}$ まで平行移動させたものである．

放物線の回転と平行移動

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最終更新日：2025年10月31日