退化円錐

退化円錐
スライダーを動かすと切断面の傾きが変わる

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円錐曲線について，円錐の頂点を通らない切断面の場合，その切り口には楕円・放物線・双曲線が現れるが，切断面が円錐の頂点を通る場合，その切り口に現れる図形は点や直線となる．このとき，「円錐曲線は退化する」といい，この特別な場合の図形を退化円錐という．

円錐の母線と円錐の軸とのなす角を $3$\displaystyle{θ}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
，円錐の頂点を通る切断面と円錐の軸とのなす角を $3$\displaystyle{ϕ}$
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とすると，以下の関係により退化円錐は

$3$\displaystyle{ϕ> θ}$
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$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 点（切断面が円錐の頂点のみと交わる）
$3$\displaystyle{ϕ=θ}$
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$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 1つの直線（切断面が円錐の母線と平行）
$3$\displaystyle{ϕ< θ}$
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$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 交差する2つの直線（双曲線の漸近線）

となる．

円錐曲線は2次曲線を表すので，退化円錐を退化2次曲線ともいう．2次曲線として考えた場合，ある退化条件においては，上記の他に平行な2つの直線も現れる．

2次曲線を表す式

$3$\displaystyle{ a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dx+2ey+f=0 }$ , $3$\displaystyle{ $a,b,c$\neq $0,0,0$ }$

において，判別式

$3$\displaystyle{ {Δ}\limits^{˜}=$ac- {b}^{2}$f- $ae- bd$e- $cd- be$d=0 }$
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のとき，2次曲線は退化する（2次曲線の標準化），また，判別式 $3$\displaystyle{Δ=ac- {b}^{2}=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
と $3$\displaystyle{{Δ}\limits^{˜}=0}$
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が同時に成り立つとき，平行な2直線となる．

【退化する2次曲線（平行な2直線と点）の例1】

$3$\displaystyle{{x}^{2}+α{y}^{2}=1- α}$
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$3$\displaystyle{{Δ}\limits^{˜}=- α$1- α$}$
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$3$\displaystyle{α< 0}$
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：双曲線
$3$\displaystyle{α=0}$
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：平行な2直線
$3$\displaystyle{0< α< 1}$
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：楕円
$3$\displaystyle{α=1}$
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：点

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【退化する2次曲線（交差する2直線）の例2】

$3$\displaystyle{{x}^{2}+β{y}^{2}=1+β}$
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$3$\displaystyle{{Δ}\limits^{˜}=- β$1+β$}$
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$3$\displaystyle{β< - 1}$
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：双曲線（縦向き）
$3$\displaystyle{β=- 1}$
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：交差する2直線
$3$\displaystyle{- 1< β< 0}$
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：双曲線（横向き）
$3$\displaystyle{β=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
：平行な2直線
$3$\displaystyle{β> 0}$
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：楕円

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最終更新日：2025年10月14日