2次曲線

$3$\displaystyle{xy}$ 平面において，次の $3$\displaystyle{x}$ , $3$\displaystyle{y}$ の2次式

$3$\displaystyle{ a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dx+2ey+f=0 }$ , $3$\displaystyle{ $a,b,c$\neq $0,0,0$ }$ ······ (1)

を満たす点 $3$\displaystyle{$x,y$}$ が描く図形を 2次曲線という（ $3$\displaystyle{a}$ , $3$\displaystyle{b}$ , $3$\displaystyle{c}$ , $3$\displaystyle{d}$ , $3$\displaystyle{e}$ , $3$\displaystyle{f}$ ：実数係数）．

例） $3$\displaystyle{{\Delta}{x}^{2}- 2\sqrt{ 1- {\Delta} }\text{\hspace{1}}x+{y}^{2}=1}$
$3$\displaystyle{{\Delta}< 0}$ ：双曲線
$3$\displaystyle{{\Delta}=0}$ ：放物線
$3$\displaystyle{0< {\Delta}\leq 1}$ ：楕円

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一般に，2次曲線は判別式 $3$\displaystyle{{\Delta}=ac- {b}^{2}}$ によって，楕円・双曲線・放物線に分類される（2次曲線の分類）．

$3$\displaystyle{{\Delta}> 0}$ $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 楕円 ※ 円を含む
$3$\displaystyle{{\Delta}=0}$ $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 放物線
$3$\displaystyle{{\Delta}< 0}$ $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 双曲線

幾何学的には，平面において，定点 $3$\displaystyle{\text{F}}$ からの距離と，この点を通らない直線 $3$\displaystyle{\text{L}}$ からの距離との比が一定である点の軌跡が2次曲線を表し，その比を離心率という．このとき， $3$\displaystyle{\text{F}}$ を焦点， $3$\displaystyle{\text{L}}$ を準線という．2次曲線はその離心率 $3$\displaystyle{ε}$
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によっても，以下のように分類される．

$3$\displaystyle{0\leq ε< 1}$
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$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 楕円 ※ 円を含む $3$\displaystyle{$ε=0$}$
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$3$\displaystyle{\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}ε=1}$
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$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 放物線
$3$\displaystyle{\{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}ε> 1}$
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$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 双曲線

これらの2次曲線は，円錐を，円錐の頂点を通らない任意の平面で切断したときの円錐断面に現れる図形として得られるため円錐曲線とも呼ばれる．

〇退化と非退化

式(1)の係数の値によっては，式(1)は直線や点として表されることがあり，それらの特別な場合の図形を退化2次曲線（または退化円錐）という．これらは，円錐を，円錐の頂点を通る平面で切断したときの切り口に現れる図形に相当する．

$3$\displaystyle{{\Delta}> 0}$ の特別な場合：
式(1) ⇒ $3$\displaystyle{{ $\frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}$ }^{2}+{ $\frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}$ }^{2}=0}$ ( $3$\displaystyle{\alpha \neq 0}$ , $3$\displaystyle{{\beta}\neq 0}$ ) $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$

$3$\displaystyle{{\Delta}< 0}$ の特別な場合：
式(1) ⇒ $3$\displaystyle{{ $\frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}$ }^{2}- { $\frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}$ }^{2}=0}$ ( $3$\displaystyle{\alpha \neq 0}$ , $3$\displaystyle{{\beta}\neq 0}$ ) $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 平行でない2直線（交点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ ）

$3$\displaystyle{{\Delta}=0}$ の特別な場合：
式(1) ⇒ $3$\displaystyle{{ $x- \hspace{1}{x}_{0}$ }^{2}- {\alpha }^{2}=0}$ または $3$\displaystyle{{ $y- \hspace{1}{y}_{0}$ }^{2}- {{\beta}}^{2}=0}$
$3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ 平行な2直線（ $3$\displaystyle{\alpha =0}$ または $3$\displaystyle{{\beta}=0}$ のときは重なった１つの直線）

退化2次曲線に対して，楕円・双曲線・放物線のいずれかに分類される2次曲線を非退化2次曲線（または非退化円錐）といい，一般に，2次曲線は非退化2次曲線のことを指す．

〇図形が描けない場合

実数の範囲において，式(1)を満たす解 $3$\displaystyle{$x,y$}$ が存在しないこともある． $3$\displaystyle{{\Delta}> 0}$ のとき

式(1) ⇒ $3$\displaystyle{{ $\frac{\hspace{2} x- \hspace{1}{x}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}$ }^{2}+{ $\frac{\hspace{2} y- \hspace{1}{y}_{0} \hspace{2}}{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}$ }^{2}+{{\gamma}}^{2}=0}$ ( $3$\displaystyle{\alpha \neq 0}$ , $3$\displaystyle{{\beta}\neq 0}$ , $3$\displaystyle{{\gamma}\neq 0}$ )

となる場合や， $3$\displaystyle{{\Delta}=0}$ のとき

式(1) ⇒ $3$\displaystyle{{ $x- \hspace{1}{x}_{0}$ }^{2}+{\alpha }^{2}=0}$ ( $3$\displaystyle{\alpha \neq 0}$ ) または $3$\displaystyle{{ $y- \hspace{1}{y}_{0}$ }^{2}+{{\beta}}^{2}=0}$ ( $3$\displaystyle{{\beta}\neq 0}$ )

となる場合であり，これらの場合は実平面上で図形が描けない．

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最終更新日：2025年10月4日

2次曲線

〇 退化と非退化

〇 図形が描けない場合

〇退化と非退化

〇図形が描けない場合