2次曲線の標準化

$3$\displaystyle{xy}$ 平面上の2次曲線（楕円・双曲線・放物線）を表す式

$3$\displaystyle{ a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dx+2ey+f=0 }$ , $3$\displaystyle{ $a,b,c$\neq $0,0,0$ }$ ······

を，適当な平行移動と直交変換により標準形に変換することを 2次曲線の標準化という（各曲線の標準形は2次曲線の分類表に掲載）．

■ 標準化の定理

式の左辺を $3$\displaystyle{x}$ , $3$\displaystyle{y}$ の2次関数

$3$\displaystyle{ u$x,y$=a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dx+2ey+f }$ , $3$\displaystyle{ $a,b,c$\neq $0,0,0$ }$ ······

とおき，この式の係数を成分とする2つの行列

$3$\displaystyle{ A=$\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ b&c& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

$3$\displaystyle{ \tilde{A}=$\begin{array}a&b&d& \vspace{6}\\ b&c&e& \vspace{6}\\ d&e&f& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

および，それらの行列式

$3$\displaystyle{ {\Delta}=\|A\|=ac- {b}^{2} }$ ······

$3$\displaystyle{ \tilde{{\Delta}}=\|\tilde{A}\|=$ac- {b}^{2}$f- $ae- bd$e- $cd- be$d }$ ······

を考える（式,を2次曲線の判別式という）．このとき，2次曲線は

$3$\displaystyle{ \{$x,y$\in {ℝ}^{2}\text{ }\|\text{ }u$x,y$=0\} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

と表せる．また，行列 $3$\displaystyle{A}$ , $3$\displaystyle{\tilde{A}}$ は対称行列であり， $3$\displaystyle{A}$ の2つの固有値（実数）を $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ とし， $3$\displaystyle{A}$ を対角化する直交行列を $3$\displaystyle{P=$\begin{array}\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}&\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ とする．

$3$\displaystyle{ D=\hspace{1}{}_{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}&0& \vspace{6}\\ 0&\hspace{1}{{\lambda}}_{2}& \vspace{6}\\ }^{\)}P_{}^{} }$ ······

ここで， $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}}$ は固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ に対応する規格化された固有ベクトルである．

2次曲線の標準化について，以下のように，

【定理 1】有心の場合（判別式 $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
）：楕円，双曲線
【定理 2】無心の場合（判別式 $3$\displaystyle{Δ=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
）：放物線

で分けて考える．

【定理 1】有心の場合の標準化

判別式 $3$\displaystyle{{\Delta}\neq 0}$ のとき $3$\displaystyle{A}$ の固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ は $3$\displaystyle{0}$ でない実数となり，式の2次曲線は有心である．その中心の座標を $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ とすると，座標変換

$3$\displaystyle{ $\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$ ······

により，式は原点を中心とした標準形

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\lambda}}_{1}{X}^{2}+\hspace{1}{{\lambda}}_{2}{Y}^{2}+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$ ······

に変換される．ここで，中心座標は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- {A}^{ - 1 }$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

で得られ， $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=\frac{\hspace{2} \tilde{{\Delta}} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta} \hspace{2}}}$ である．

また，判別式 $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}=0}$ の場合（ $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0}$ ），2次曲線は退化する．

▶ 定理1の証明

【定理 1】の場合の分類

のとき , は同符号であり，
- $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}}$ が異符号ならば
  $3$\displaystyle{ {\alpha }^{2}=- \frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} \hspace{2}} }$ , $3$\displaystyle{ {{\beta}}^{2}=- \frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\lambda}}_{2} \hspace{2}} }$ ······
  とおいて，式を楕円の標準形
  $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {X}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {Y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\beta}}^{2} \hspace{2}}=1 }$ ······
  で表すことができる． $3$\displaystyle{\| \hspace{1}{{\lambda}}_{1}\|< \| \hspace{1}{{\lambda}}_{2}\| }$ なら横長（ $3$\displaystyle{X}$ 軸上に焦点が存在）， $3$\displaystyle{\| \hspace{1}{{\lambda}}_{1}\|> \| \hspace{1}{{\lambda}}_{2}\| }$ なら縦長（ $3$\displaystyle{Y}$ 軸上に焦点が存在）， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}=\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ なら円となる．
- $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}}$ が同符号ならば
  $3$\displaystyle{ {\alpha }^{2}=\frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} \hspace{2}} }$ , $3$\displaystyle{ {{\beta}}^{2}=\frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\lambda}}_{2} \hspace{2}} }$ ······
  とおいて，式を
  $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {X}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {Y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\beta}}^{2} \hspace{2}}=- 1 }$ ······
  と表すことができるが，式を満たす点は存在しない（実平面状で図形が描けない）．
- $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}=0}$ ならば，2次曲線は退化し
  $3$\displaystyle{ {\alpha }^{2}=\|\hspace{1}{{\lambda}}_{2}\| }$ , $3$\displaystyle{ {{\beta}}^{2}=\|\hspace{1}{{\lambda}}_{1}\| }$ ······
  とおいて，式を
  $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {X}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha }^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {Y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\beta}}^{2} \hspace{2}}=0 }$ ······
  と表すことができ，これを満たす点は原点 $3$\displaystyle{$0,0$}$ のみである．
  $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0}$ より，式においては中心点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ を表す．

のとき , は異符号であり，
- $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}\neq 0}$ ならば
  $3$\displaystyle{ {\alpha }^{2}=\|\frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\lambda}}_{1} \hspace{2}}\| }$ , $3$\displaystyle{ {{\beta}}^{2}=\|\frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{{\lambda}}_{2} \hspace{2}}\| }$ ······
  とおいて，式は双曲線の標準形
  $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {X}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha }^{2} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {Y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\beta}}^{2} \hspace{2}}=±1 }$
  TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
  ······
  で表すことができる． $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ と $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}}$ が異符号ならば上式右辺が $3$+1$ となって横向き（ $3$\displaystyle{X}$ 軸上に焦点が存在），同符号ならば $3$- 1$ となって縦向き（ $3$\displaystyle{Y}$ 軸上に焦点が存在）になる．
- $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}=0}$ ならば，2次曲線は退化し，式のようにおいて，式は
  $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {X}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\alpha }^{2} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {Y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {{\beta}}^{2} \hspace{2}}=0 }$ ······
  となる．したがって，原点で交わる2直線
  $3$\displaystyle{ Y=±\|\frac{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}\|X=±\sqrt{ - \frac{\hspace{2}\hspace{1}{{\lambda}}_{1}\hspace{2}}{\hspace{2}\hspace{1}{{\lambda}}_{2}\hspace{2}} }X }$
  TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
  ······
  となる（双曲線の漸近線に相当）．
  $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0}$ より，式においては中心点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ を交点とする2直線を表す．

▶ 有心の場合の標準化の例

【定理 2】無心の場合の標準化

判別式 $3$\displaystyle{{\Delta}=0}$ のとき $3$\displaystyle{A}$ の固有値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}=0}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}={\lambda}=a+c\neq 0}$ となり，式の2次曲線は無心である．このとき

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

で得られる点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ を用いた座標変換

$3$\displaystyle{ $\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$ ······

により，式は標準形

$3$\displaystyle{ {\lambda}{Y}^{2}- 2gX+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$ ······

に変換される．ここで

$3$\displaystyle{ g=\frac{\hspace{2} ae- bd \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}} \hspace{2}} }$ ······

である．判別式 $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}=0}$ の場合（ $3$\displaystyle{g=0}$ ），2次曲線は退化する．

また， $3$\displaystyle{A}$ の固有値を $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}={\lambda}=a+c\neq 0}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}=0}$ と設定すると，式は

$3$\displaystyle{ {\lambda}{X}^{2}+2gY+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$ ······

となる（ $3$\displaystyle{X}$ と $3$\displaystyle{Y}$ が入れ替わり， $3$\displaystyle{Y}$ の項の符号は $3$\displaystyle{+}$ となる）．

▶ 定理2の証明

【定理 2】の場合の分類

$3$\displaystyle{g\neq 0}$ のとき（ $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}\neq 0}$ ），式を
$3$\displaystyle{ {Y}^{2}=\frac{\hspace{2} 2g \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}$X- \frac{\hspace{2} u\(\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2g \hspace{2}}\) }$ ······
と変形し， $3$\displaystyle{4p=\frac{\hspace{2} 2g \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}}$ として， $3$\displaystyle{X- \frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2g \hspace{2}}}$ を改めて $3$\displaystyle{X}$ とおくことにより，放物線の標準形
$3$\displaystyle{ {Y}^{2}=4pX }$ ······
で表すことができる．
※ 点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ は，式の放物線の対称軸を通る点となっている．
$3$\displaystyle{g=0}$ のとき（ $3$\displaystyle{\tilde{{\Delta}}=0}$ ），2次曲線は退化し，式は
$3$\displaystyle{ {Y}^{2}=- \frac{\hspace{2} u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}=C }$ （定数） ······
と変形され， $3$\displaystyle{C\geq 0}$ なら2つの平行な直線
$3$\displaystyle{ Y=\pm \sqrt{C} }$ ······
となる（ $3$\displaystyle{C=0}$ のときは重なった1つの直線）． $3$\displaystyle{C< 0}$ なら，この式を満たす点は存在しない（実平面上で図形が描けない）．
※ 点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ は，式の平行な2直線の対称軸に原点から垂線を下したときの交点である．

▶ 無心の場合の標準化の例

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最終更新日：2025年10月4日