2次曲線：有心の場合の標準化の例

例1） $3$\displaystyle{5{x}^{2}- 6xy+5{y}^{2}+2x- 14y- 3}$ $3$\displaystyle{=0}$ はどのような2次曲線を表すか調べよ．

【解答】

$3$\displaystyle{ 5{x}^{2}- 6xy+5{y}^{2}+2x- 14y- 3=0 }$ ······

の係数より

$3$\displaystyle{ a=5,\text{ }b=- 3,\text{ }c=5,\text{ }d=1,\text{ }e=- 7,\text{ }f=- 3 }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

であり，これらを成分とする2つの対称行列

$3$\displaystyle{ A=$\begin{array}5&- 3& \vspace{6}\\ - 3&5& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

$3$\displaystyle{ \tilde{A}=$\begin{array}5&- 3&1& \vspace{6}\\ - 3&5&- 7& \vspace{6}\\ 1&- 7&- 3& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

を考える．判別式

$3$\displaystyle{ {\Delta}=\|A\|=5\cdot 5- { $- 3$ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ =16\neq 0 }$ ······

および，

$3$\displaystyle{ \tilde{{\Delta}}=\|\tilde{A}\|=\{5\cdot 5- { $- 3$ }^{2}\}$- 3$- \{5\cdot $- 7$- $- 3$\cdot 1\}$- 7$- \{5\cdot 1- $- 3$$- 7$\}\cdot 1 }$

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=- 48- 224+16=- 256 }$ ······

より，この2次曲線は有心で退化せず， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \tilde{{\Delta}} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} - 256 \hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- 16}$ である．また，行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有方程式

$3$\displaystyle{ \|A- λE\|=\|\begin{array}5- λ&- 3& \vspace{6}\\ - 3&5- λ& \vspace{6}\\ \end{array}\| }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =$5- λ$$5- λ$- { $- 3$ }^{2} }$
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$3$\displaystyle{ ={λ}^{2}- 10λ+16 }$
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$3$\displaystyle{ =$λ- 2$$λ- 8$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{ =0 }$

より， $3$\displaystyle{A}$ の固有値は $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{1}=2}$
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, $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{2}=8}$
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である．したがって，2次曲線の標準化の【定理 1】より，与式の2次曲線は適当な座標変換 $3$\displaystyle{$x,y$↦$X,Y$}$
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で

$3$\displaystyle{ 2{X}^{2}+8{Y}^{2}- 16=0 }$ $3$\displaystyle{\Leftrightarrow }$ $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}{X}^{2}\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}{Y}^{2}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=1 }$ ······

と変換できる．これは，軌道長半径 $3$\displaystyle{2\sqrt{2}}$ ，軌道短半径 $3$\displaystyle{\sqrt{2}}$ の楕円を表す．

与式の中心の座標 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ は逆行列 $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}$\begin{array}5&3& \vspace{6}\\ 3&5& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ を用いて

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- {A}^{ - 1 }$\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 7& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 16 \hspace{2}}$\begin{array}5&3& \vspace{6}\\ 3&5& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 7& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

と求まり，行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{1}=2}$
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, $3$\displaystyle{\hspace{1}{λ}_{2}=8}$
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に対応する（大きさ $3$\displaystyle{1}$ の）固有ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}}$ は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}5- 2&- 3& \vspace{6}\\ - 3&5- 2& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}3&- 3& \vspace{6}\\ - 3&3& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ $3$\displaystyle{\Rightarrow }$ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{2}\hspace{2}}$\begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

$3$\displaystyle{ $\begin{array}5- 8&- 3& \vspace{6}\\ - 3&5- 8& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2} }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}- 3&- 3& \vspace{6}\\ - 3&- 3& \vspace{6}\\ \end{array}$\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2} }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ $3$\displaystyle{\Rightarrow }$ $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{2}\hspace{2}}$\begin{array}- 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

と求まる．よって， $3$\displaystyle{A}$ の対角化を与える（回転変換に対応させた）直交行列を

$3$\displaystyle{ P=$\begin{array}\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}&\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{2}\hspace{2}}$\begin{array}1&- 1& \vspace{6}\\ 1&1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}\cos 45^\circ &- \sin 45^\circ & \vspace{6}\\ \sin 45^\circ &\cos 45^\circ & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

と書けるので， $3$\displaystyle{$X,Y$↦$x,y$}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
の変換は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$=P$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}\cos 45^\circ &- \sin 45^\circ & \vspace{6}\\ \sin 45^\circ &\cos 45^\circ & \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

と表せる．以上のことから，与式の2次曲線は，式の楕円を，原点を中心に $3$\displaystyle{45^\circ }$ 回転させた後，楕円の中心を $3$\displaystyle{$1,2$}$ まで平行移動させたものである．

楕円の回転と平行移動

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最終更新日：2025年10月31日