2次曲線の標準化の定理1の証明

2次曲線の標準化における【定理 1】有心の場合の標準化を証明する．

$3$\displaystyle{xy}$ 平面上の2次曲線を表す式

$3$\displaystyle{ u$x,y$=a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dx+2ey+f=0 }$ , $3$\displaystyle{ $a,b,c$\neq $0,0,0$ }$ ······

の係数を成分とする2つの対称行列

$3$\displaystyle{ A=$\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ b&c& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

$3$\displaystyle{ \tilde{A}=$\begin{array}a&b&d& \vspace{6}\\ b&c&e& \vspace{6}\\ d&e&f& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

および，それらの行列式

$3$\displaystyle{ {\Delta}=\|A\|=ac- {b}^{2} }$ ······

$3$\displaystyle{ \tilde{{\Delta}}=\|\tilde{A}\|=$ac- {b}^{2}$f- $ae- bd$e- $cd- be$d }$ ······

を考え， $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
とする．以下の手順で【定理 1】を証明する（各手順の行をクリックすると解説欄が開く）．

【手順 1】 $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のときに有心であることを示す

行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有方程式

$3$\displaystyle{ \|A- λE\|=\|\begin{array}a- λ&b& \vspace{6}\\ b&c- λ& \vspace{6}\\ \end{array}\| }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$a- λ$$c- λ$- {b}^{2} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}={λ}^{2}- $a+c$λ+ac- {b}^{2} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}={λ}^{2}- $a+c$λ+{\Delta}=0 }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

より， $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のときに $3$\displaystyle{A}$ はゼロでない 2つの固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ をもつ．それらに対応する大きさ $3$\displaystyle{1}$ の固有ベクトル $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}}$ から得られる直交行列 $3$\displaystyle{P=$\begin{array}\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}&\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ により， $3$\displaystyle{A}$ は

$3$\displaystyle{ D=\hspace{1}{}_{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}&0& \vspace{6}\\ 0&\hspace{1}{{\lambda}}_{2}& \vspace{6}\\ }^{\)}P_{}^{} }$ ······

と対角化される．行列 $3$\displaystyle{A}$ と列ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{x}=$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ を用いて，式を

$3$\displaystyle{ u$\mathbb{x}$=\hspace{1}{}_{x}^{0}\mathbb{x}$_{d&e& \vspace{6}\\ }^{$} }$ ······

と表すと，直交変換 $3$\displaystyle{\mathbb{x}=P\mathbb{X}=P$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ により，式の右辺第1項の2次形式は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{x}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{{\lambda}}_{1}{X}^{2}+\hspace{1}{{\lambda}}_{2}{Y}^{2} }$ ······

となる（2次形式の標準化）．このように，異なる2つの変数の積が消えるように式を標準化すると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ はゼロはないので， $3$\displaystyle{{X}^{2}}$ と $3$\displaystyle{{Y}^{2}}$ の項が必ず存在し，楕円か双曲線の標準形に帰着する．したがって， $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のとき，式の2次曲線には（退化する場合も含めて）中心点が存在し，有心であることがわかる．

【手順 2】平行移動により1次の項を消去する

次に，式の $3$\displaystyle{x}$ , $3$\displaystyle{y}$ の1次の項を消去するために，以下の平行移動

$3$\displaystyle{ \{\begin{array} {x}^{\prime }=x- \hspace{1}{x}_{0} & \vspace{6}\\ {y}^{\prime }=y- \hspace{1}{y}_{0} & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ······

を考える．これは点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ が原点となるようにグラフを平行移動することに対応する． $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0}}$ を求めるため

$3$\displaystyle{ \{\begin{array} x={x}^{\prime }+\hspace{1}{x}_{0} & \vspace{6}\\ y={y}^{\prime }+\hspace{1}{y}_{0} & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ······

を式に代入すると

$3$\displaystyle{ u$ {x}^{\prime }+\hspace{1}{x}_{0} , {y}^{\prime }+\hspace{1}{y}_{0} $=a{ ${x}^{\prime }+\hspace{1}{x}_{0}$ }^{2}+2b${x}^{\prime }+\hspace{1}{x}_{0}$${y}^{\prime }+\hspace{1}{y}_{0}$+c{ ${y}^{\prime }+\hspace{1}{y}_{0}$ }^{2}+2d${x}^{\prime }+\hspace{1}{x}_{0}$+2e${y}^{\prime }+\hspace{1}{y}_{0}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=a{ {x}^{\prime } }^{2}+2b{x}^{\prime }{y}^{\prime }+c{ {y}^{\prime } }^{2}+2\{$a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+d${x}^{\prime }+$b\hspace{1}{x}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+e${y}^{\prime }\} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}\text{\hspace{5}}+a{ \hspace{1}{x}_{0} }^{2}+2b\hspace{1}{x}_{0}\hspace{1}{y}_{0}+c{ \hspace{1}{y}_{0} }^{2}+2d\hspace{1}{x}_{0}+2e\hspace{1}{y}_{0}+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=a{ {x}^{\prime } }^{2}+2b{x}^{\prime }{y}^{\prime }+c{ {y}^{\prime } }^{2}+2\{$a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+d${x}^{\prime }+$b\hspace{1}{x}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+e${y}^{\prime }\}+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=0 }$ ······

となり， $3$\displaystyle{{x}^{\prime }}$ , $3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ の1次の項が消えるためには，それらの係数が

$3$\displaystyle{ \{\begin{array} a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}+d=0 & \vspace{6}\\ b\hspace{1}{x}_{0}+c\hspace{1}{y}_{0}+e=0 & \vspace{6}\\ \end{array} }$ ······

でなければならない．上式を行列表示すると

$3$\displaystyle{ A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- $\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

となる． $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
より， $3$\displaystyle{A}$ の逆行列が存在し， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0}}$ は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- {A}^{ - 1 }$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

と求まる．これにより，列ベクトル $3$\displaystyle{{\mathbb{x}}^{\prime }=$\begin{array}{x}^{\prime }& \vspace{6}\\ {y}^{\prime }& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ を用いて，式は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}{\mathbb{x}}^{\prime }_{}^{} }$ ······

という 2次形式 $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}{\mathbb{x}}^{\prime }_{}^{}}$ $3$\displaystyle{+}$ 定数項 $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ の形で表せる．また，このようにして求めた点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ は，2次曲線（楕円・放物線）の中心点となっており，この平行移動によって中心点が原点に移動する．

【手順 3】直交変換により標準形に変換する

次に，平行移動した点 $3$\displaystyle{{\mathbb{x}}^{\prime }}$ に対して，直交行列 $3$\displaystyle{P}$ による直交変換

$3$\displaystyle{ \mathbb{X}=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$ ······

を考える． $3$\displaystyle{ {\mathbb{x}}^{\prime }=P\mathbb{X} }$ を式に代入すると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}{\mathbb{x}}^{\prime }_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{u}^{$}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{\(}^{x}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{λ}_{1}{X}^{2}+\hspace{1}{λ}_{2}{Y}^{2}+u\(\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 ······

となり，式の標準形が得られる（ $3$\displaystyle{D=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}}$ は式の対角行列）．また，

$3$\displaystyle{ {A}^{ - 1 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}Δ\hspace{2}}$\begin{array}c&- b& \vspace{6}\\ - b&a& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

および，式より

$3$\displaystyle{ u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}${A}^{ - 1 }A{A}^{ - 1 }$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$- 2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}${A}^{ - 1 }$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=- $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}${A}^{ - 1 }$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=f- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}Δ\hspace{2}}\{$ae- bd$e+$cd- be$d\} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

となるので，式と見比べると

$3$\displaystyle{ u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=\frac{\hspace{2} {Δ}\limits^{˜} \hspace{2}}{\hspace{2} Δ \hspace{2}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

であることがわかる．

【手順 4】まとめ

楕円の平行移動と回転

双曲線の平行移動と回転

JSXGraph Copyright (C) see http://jsxgraph.org

有心（ $3$\displaystyle{Δ\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
）である2次曲線の中心点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0}\hspace{1}{y}_{0}$}$ が原点となるように平行移動【手順 2】した後，行列 $3$\displaystyle{A}$ を対角化する直交行列 $3$\displaystyle{P}$ によって直交変換【手順 3】させる座標変換

$3$\displaystyle{ $\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$ ······

により，式は標準形

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{λ}_{1}{X}^{2}+\hspace{1}{λ}_{2}{Y}^{2}+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 ······

に変換できる．ここで， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ は行列 $3$\displaystyle{A}$ のゼロでない固有値である．

$3$\displaystyle{A}$ の固有値に対応する固有ベクトルから成る直交行列 $3$\displaystyle{P}$ は固有ベクトルの符号の取り方で任意性をもつが， $3$\displaystyle{\|P\|=1}$ となるように

$3$\displaystyle{ P=$\begin{array}\hspace{1}{p}_{1}&- \hspace{1}{p}_{2}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{p}_{2}&\hspace{1}{p}_{1}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

のようにとると， $3$\displaystyle{P}$ による直交変換を回転移動に対応付けることができる（ $3$\displaystyle{\|P\|=- 1}$ のときは軸に関する対称移動を伴う）．

したがって，幾何学的に考えると，2次曲線の標準化とは，平行移動と回転移動により， $3$\displaystyle{xy}$ 座標系から $3$\displaystyle{XY}$ 座標系に軸を取り直して，式を見通しの良い形にすることである．

※ 上記手順では平行移動してから直交変換（回転移動）しているが，直交変換してから平行移動しても構わない．その際の座標変換は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$=\hspace{1}{}_{\)}^{}P_{\(}^{\hspace{1}{X}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{Y}_{0}& \vspace{6}\\ } }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{}_{}^{P}P_{}^{} }$

であり，実質，式と同じである．

【補足】同次座標による表現

平行移動と直交変換を表す式を書き直すと

式 ⇒ $3$\displaystyle{ $\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$=P$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

となり，これを同次座標を用いたアフィン変換で表すと

$3$\displaystyle{ $\begin{array} \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$=$\begin{array}P& \begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ \end{array} &1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array} \begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

のように，直交変換と平行移動をまとめて1次変換のように表すことができる．このとき列ベクトルの3番目の成分は必ず $3$\displaystyle{1}$ となる．上式右辺の3次正方行列を

$3$\displaystyle{ \tilde{P}=$\begin{array}P& \begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ \end{array} &1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

とおくことにする．このアフィン変換の表現を用いると，式は

$3$\displaystyle{ u$x,y$=$\begin{array}x&y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}a&b&d& \vspace{6}\\ b&c&e& \vspace{6}\\ d&e&f& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}x&y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\tilde{A}$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$=0 }$ ······

と表すことができるため，1次の項や定数項を含めて，あたかも2次形式の行列表示のように表記できる．ここで， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{}}$ を計算すると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}& \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array} &1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}AP& A\(\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ & \vspace{6}\\ $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$P & $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f & \vspace{6}\\ \end{array}\) }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}& \hspace{1}{}_{}^{$}P_{}^{} & \vspace{6}\\ \{$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A+$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$\}P & $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f & \vspace{6}\\ \end{array}\) }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}D& \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ \end{array} &u\(\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$& \vspace{6}\\ \end{array}\) }$ ······

である（上式の最終行では式を用いた）．したがって，式に式を代入し，式を用いると，

$3$\displaystyle{ $\begin{array}x&y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\tilde{A}$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$=$\begin{array}X&Y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\text{\hspace{1}}\hspace{1}{}_{6}^{7}\tilde{P}3_{4}^{5} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}X&Y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}D& \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ \end{array} &u\(\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$& \vspace{6}\\ \end{array}\)$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{{\lambda}}_{1}{X}^{2}+\hspace{1}{{\lambda}}_{2}{Y}^{2}+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$ ······

を得る．このように同次座標の表現を用いると平行移動を含めて1次変換として扱えるので，式展開がスッキリする．

ただし， $3$\displaystyle{\tilde{P}}$ は直交行列ではないので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{}}$ ， $3$\displaystyle{\tilde{P}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{}}$ である．ちなみに， $3$\displaystyle{\| \tilde{P}\|=\|P\|=\pm 1 }$ なので， $3$\displaystyle{\| \hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{} \|=\| \tilde{A}\|={Δ}\limits^{˜} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
であり，行列 $3$\displaystyle{\tilde{P}}$ によるアフィン変換で判別式は不変である．実際，式より

$3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{} \|=\|D\|\cdot u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ }$ $3$\displaystyle{ =Δ\cdot \frac{\hspace{2} {Δ}\limits^{˜} \hspace{2}}{\hspace{2} Δ \hspace{2}}={Δ}\limits^{˜} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

である．

ホーム>>カテゴリー分類>>幾何>>図と方程式>>2次曲線の標準化>>2次曲線の標準化の定理1の証明

最終更新日：2025年10月16日