2次曲線の標準化の定理2の証明

2次曲線の標準化における【定理 2】無心の場合の標準化を証明する．

$3$\displaystyle{xy}$ 平面上の2次曲線を表す式

$3$\displaystyle{ u$x,y$=a{x}^{2}+2bxy+c{y}^{2}+2dx+2ey+f=0 }$ $3$\displaystyle{ $a,c\neq 0$ }$ ······

の係数を成分とする2つの対称行列

$3$\displaystyle{ A=$\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ b&c& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ , $3$\displaystyle{ \tilde{A}=$\begin{array}a&b&d& \vspace{6}\\ b&c&e& \vspace{6}\\ d&e&f& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

を考える． $3$\displaystyle{A}$ の行列式を

$3$\displaystyle{ {\Delta}=\|A\|=ac- {b}^{2}=0 }$ ······

とすると， $3$\displaystyle{\tilde{A}}$ の行列式は

$3$\displaystyle{ \tilde{{\Delta}}=\|\tilde{A}\| }$ $3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$ac- {b}^{2}$f- $ae- bd$e- $cd- be$d }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=- $ae- bd$e- $\frac{\hspace{2}{b}^{2}\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}d- be$d }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=- $ae- bd$e+$ae- bd$\frac{\hspace{2} bd \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=- \frac{\hspace{2} { $ae- bd$ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }$ ······

である（ $3$\displaystyle{c={b}^{2}/a}$ を用いた）．

（※ 式において $3$\displaystyle{a=0}$ または $3$\displaystyle{c=0}$ の場合，無心であれば式より $3$\displaystyle{b=0}$ なので，既に標準化されている．）

以下の手順で【定理 2】を証明する（各手順の行をクリックすると解説欄が開く）．

【手順 1】 $3$\displaystyle{Δ=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のときに無心であることを示す

行列 $3$\displaystyle{A}$ の固有方程式

$3$\displaystyle{ \| A- λE \|=\| \begin{array}a- λ&b& \vspace{6}\\ b&c- λ& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$a- λ$$c- λ$- {b}^{2} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}={λ}^{2}- $a+c$λ+ac- {b}^{2} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}={λ}^{2}- $a+c$λ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=λ\{ λ- $a+c$ \}=0 }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

より， $3$\displaystyle{Δ=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のとき $3$\displaystyle{A}$ の2つの固有値 $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}}$ のうち片方はゼロとなる．それらを

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}=0}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}={\lambda}=a+c\neq 0}$ ······

とすると，対応する大きさ $3$\displaystyle{1}$ の固有ベクトルは

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}=\frac{\hspace{2} \pm 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a & \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}=\frac{\hspace{2} \pm 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}a& \vspace{6}\\ b& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

となる（複合任意）．式から得られる直交行列 $3$\displaystyle{P=$\begin{array}\hspace{1}{\mathbb{p}}_{1}&\hspace{1}{\mathbb{p}}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ は符号の任意性をもつが， $3$\displaystyle{\|P\|=1}$ となるよう

$3$\displaystyle{ P=\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}b&a& \vspace{6}\\ - a &b& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

とおくと， $3$\displaystyle{P}$ による直交変換は回転変換に対応付けられる．行列 $3$\displaystyle{A}$ は $3$\displaystyle{P}$ により

$3$\displaystyle{ D=\hspace{1}{}_{0&0& \vspace{6}\\ 0&{\lambda}& \vspace{6}\\ }^{\)}P_{}^{} }$ ······

と対角化され， $3$\displaystyle{A}$ と列ベクトル $3$\displaystyle{\mathbb{x}=$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ を用いて，式を

$3$\displaystyle{ u$\mathbb{x}$=\hspace{1}{}_{x}^{0}\mathbb{x}$_{d&e& \vspace{6}\\ }^{$} }$ ······

と表すと，直交変換 $3$\displaystyle{\mathbb{x}=P\mathbb{X}=P$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$}$ により，式の右辺第1項の2次形式は

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{x}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{}^{}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}={\lambda}{Y}^{2} }$ ······

となる（2次形式の標準化）．このように，異なる2つの変数の積が消えるように式を標準化すると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{1}=0}$ なので， $3$\displaystyle{{X}^{2}}$ の項が消える（※ $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\lambda}}_{2}=0}$ とおくと $3$\displaystyle{{Y}^{2}}$ の項が消える）．したがって，式は放物線の標準形に帰着するため， $3$\displaystyle{Δ=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
のとき，式の2次曲線には（退化する場合も含めて）中心点が存在せず，無心であることがわかる．

【手順 2】平行移動と直交変換により標準形に変換する

【定理 1】の証明と同様に，平行移動と式の直交行列 $3$\displaystyle{P}$ による直交変換

$3$\displaystyle{ \mathbb{X}=$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$=\hspace{1}{}_{0}^{1}P_{}^{} }$ ······

を用いて，式を標準形に変換する．【手順 1】より，この直交変換では $3$\displaystyle{{X}^{2}}$ の項が消えるので，平行移動では $3$\displaystyle{Y}$ の1次の項が消えるように $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0}}$ を決める．式より

$3$\displaystyle{ \mathbb{x}=$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array}$=P\mathbb{X}+$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

であり，これを式に代入すると

$3$\displaystyle{ u$\mathbb{x}$=\hspace{1}{}_{x}^{0}\mathbb{x}$_{d&e& \vspace{6}\\ }^{$} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{+}^{$} \(P\mathbb{X}+\(\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$\) _{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{+}^{P2} $\mathbb{X}+\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} _{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{\(}^{\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ }\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}\text{\hspace{5}}+\(\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\hspace{1}{}_{P}^{D}\mathbb{X}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=λ{Y}^{2}+2\{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$PD+$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$P \}\mathbb{X}+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

となる（ $3$\displaystyle{D=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}}$ は式の対角行列）．ここで，上式第2項の{ }内の項は，それぞれ

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$PD=$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}b&a& \vspace{6}\\ - a &b& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}0&0& \vspace{6}\\ 0&λ& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}0&λa& \vspace{6}\\ 0&λb& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}0&λ\(a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}$& \vspace{6}\\ \end{array}\) }$
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······

$3$\displaystyle{ $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$P=$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}b&a& \vspace{6}\\ - a &b& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}bd- ae&ad+be& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

となるので，第2項は

$3$\displaystyle{ 2\{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$PD+$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$P \}\mathbb{X} }$
$3$\displaystyle{ \text{\hspace{5}}=\frac{\hspace{2} 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}bd- ae&λ\(a\hspace{1}{x}_{0}+b\hspace{1}{y}_{0}$+ad+be& \vspace{6}\\ \end{array}\)$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
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$3$\displaystyle{ \text{\hspace{5}}=- 2\frac{\hspace{2} ae- bd \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}X+\frac{\hspace{2} 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}λ\hspace{1}{x}_{0}+d& \vspace{6}\\ λ\hspace{1}{y}_{0}+e& \vspace{6}\\ \end{array}$Y }$
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······

と書ける．したがって，式は

$3$\displaystyle{ λ{Y}^{2}- 2\frac{\hspace{2} ae- bd \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}X+\frac{\hspace{2} 2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}λ\hspace{1}{x}_{0}+d& \vspace{6}\\ λ\hspace{1}{y}_{0}+e& \vspace{6}\\ \end{array}$Y+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$
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······

と表される．上式において， $3$\displaystyle{Y}$ の1次の項を消すには内積 $3$\displaystyle{$a\text{ }b$\cdot $λ\hspace{1}{x}_{0}+d\text{ }\text{ }λ\hspace{1}{y}_{0}+e$=0}$
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であればよいので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0}}$ は

$3$\displaystyle{ $\begin{array}λ\hspace{1}{x}_{0}+d& \vspace{6}\\ λ\hspace{1}{y}_{0}+e& \vspace{6}\\ \end{array}$=k$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
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（ $3$\displaystyle{k}$ ：任意定数） ······

を満たせばよい．

放物線の平行移動と回転

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$3$\displaystyle{k}$ は任意なので， $3$\displaystyle{k=0}$ と選ぶと，

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}λ\hspace{2}}$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
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······

となる（このように求めた点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ は対称軸上の点であるが，放物線の焦点でも， $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0}$ でなければ頂点でもない）．このとき，

$3$\displaystyle{ g=\frac{\hspace{2} ae- bd \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}} }$ ······

とおくと，式は次式の標準形となる．

$3$\displaystyle{ λ{Y}^{2}- 2gX+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

ここで，

$3$\displaystyle{ u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {λ}^{2} \hspace{2}}$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}λ\hspace{2}}$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {λ}^{2} \hspace{2}}$a{d}^{2}+2bde+c{e}^{2}$- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}λ\hspace{2}}${d}^{2}+{e}^{2}$+f }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=a{ $\frac{\hspace{2} ad+be \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}$ }^{2}- 2a\frac{\hspace{2} {d}^{2}+{e}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}+f }$ ······

である（上式の最終行で $3$\displaystyle{λ=a+c}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
, $3$\displaystyle{c={b}^{2}/a}$ を用いた）．また，式において， $3$\displaystyle{g=0}$ のとき $3$\displaystyle{X}$ の1次の項が消え，2次曲線は放物線ではなく，退化して平行な2つの直線となる．式と式を見比べてわかるように， $3$\displaystyle{g=0}$ のとき $3$\displaystyle{{Δ}\limits^{˜}=0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
である．

【補足 1】同次座標による表現

座標変換の式を，同次座標を用いたアフィン変換で表すと

$3$\displaystyle{ $\begin{array} \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$=$\begin{array}P& \begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ \end{array} &1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array} \begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

のように，直交変換と平行移動をまとめて1次変換のように表すことができる．このとき列ベクトルの3番目の成分は必ず $3$\displaystyle{1}$ となる．上式右辺の3次正方行列を

$3$\displaystyle{ \tilde{P}=$\begin{array}P& \begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ \end{array} &1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

とおくことにする．この同次座標の表現を用いると，式は

$3$\displaystyle{ u$x,y$=$\begin{array}x&y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}a&b&d& \vspace{6}\\ b&c&e& \vspace{6}\\ d&e&f& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}x&y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\tilde{A}$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$=0 }$ ······

と表すことができるため，1次の項や定数項を含めて，あたかも2次形式の行列表示のように表記できる．ここで， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{}}$ を計算すると，

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}& \begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array} &1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}AP& A\(\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ & \vspace{6}\\ $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$P & $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f & \vspace{6}\\ \end{array}\) }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}& \hspace{1}{}_{}^{$}P_{}^{} & \vspace{6}\\ \{$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A+$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$\}P & $\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}&\hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{0}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{0}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f & \vspace{6}\\ \end{array}\) }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}D& \begin{array}- g& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}- g&0& \vspace{6}\\ \end{array} &u\(\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$& \vspace{6}\\ \end{array}\) }$ ······

である（式より $3$\displaystyle{D=\hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{}}$ ）．上式の最終行では，式および $3$\displaystyle{λ=a+c}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{=${a}^{2}+{b}^{2}$/a}$ を用いて

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{}_{}^{}P_{}^{} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}λ\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}b&- a& \vspace{6}\\ a &b& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}c&- b& \vspace{6}\\ - b &a& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}λ\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}\(a+c$b&- ${a}^{2}+{b}^{2}$& \vspace{6}\\ ac- {b}^{2} &0& \vspace{6}\\ \end{array}\)$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}b&- a& \vspace{6}\\ 0&0& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2} 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } \hspace{2}}$\begin{array}bd- ae& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}$=$\begin{array}- g& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ ······

と求めた．したがって，式に式を代入し，式を用いると，

$3$\displaystyle{ $\begin{array}x&y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\tilde{A}$\begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$=$\begin{array}X&Y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$\text{\hspace{1}}\hspace{1}{}_{6}^{7}\tilde{P}3_{4}^{5} }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=$\begin{array}X&Y&1& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}D& \begin{array}- g& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array} & \vspace{6}\\ \begin{array}- g&0& \vspace{6}\\ \end{array} &u\(\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$& \vspace{6}\\ \end{array}\)$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}={\lambda}{Y}^{2}- 2gX+u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0 }$ ······

を得る．このようにアフィン変換の表現を用いると平行移動を含めて1次変換として扱えるので，式展開がスッキリする．

ただし， $3$\displaystyle{\tilde{P}}$ は直交行列ではないので， $3$\displaystyle{\hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{}}$ ， $3$\displaystyle{\tilde{P}\text{\hspace{1}}\hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{}}$ である．ちなみに， $3$\displaystyle{\| \tilde{P}\|=\|P\|=\pm 1 }$ なので， $3$\displaystyle{\| \hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{} \|=\| \tilde{A}\|={Δ}\limits^{˜} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
であり，行列 $3$\displaystyle{\tilde{P}}$ によるアフィン変換で判別式は不変である．実際，式より

$3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{}_{}^{}\tilde{P}_{}^{} \|=- {\lambda}{g}^{2} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} { $ae- bd$ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2}+{b}^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} { $ae- bd$ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}={Δ}\limits^{˜} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
······

である．

【補足 2】平行移動の任意性について

式を標準形に変換する際，【手順 2】の式において $3$\displaystyle{Y}$ の1次の項を消すために，式を満たすように平行移動の量 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ を決めるのであるが， $3$\displaystyle{k}$ の任意性があり，最も簡単な場合として $3$\displaystyle{k=0}$ を選んだ．幾何学的には，式を満たす点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ は放物線（退化するときは平行な2直線）の対称軸上の点である．（※ $3$\displaystyle{k=0}$ を選ぶと，退化したときの対称軸に原点から垂線を下したときの交点となる．）

このように平行移動には任意性があるが，放物線の場合（ $3$\displaystyle{{Δ}\limits^{˜}\neq 0}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
），最初から原点が頂点となるような平行移動により標準化できる．つまり，式において，式と $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$=0}$ を同時に満たす $3$\displaystyle{\hspace{1}{x}_{0}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{0}}$ を求めれば，点 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ が一意に定まり，その点が式における放物線の頂点の座標を表している．

放物線の頂点の座標を，式の $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$}$ と区別して $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1}$}$ とおくと，式より

$3$\displaystyle{ $\begin{array}\hspace{1}{x}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1}& \vspace{6}\\ \end{array}$=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}\{k$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$- $\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$\} }$ ······

となり，これを $3$\displaystyle{u$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1}$=0}$ に代入し，

$3$\displaystyle{ A$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$=$\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ b&c& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}0& \vspace{6}\\ {b}^{2}- ac& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$ $3$\displaystyle{ =$\begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$

であることを用いると

$3$\displaystyle{ u$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1}$=$\begin{array}\hspace{1}{x}_{1}&\hspace{1}{y}_{1}& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}\hspace{1}{x}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1}& \vspace{6}\\ \end{array}$+2$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}\hspace{1}{x}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{y}_{1}& \vspace{6}\\ \end{array}$+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {{\lambda}}^{2} \hspace{2}}\{k$\begin{array}b&- a& \vspace{6}\\ \end{array}$- $\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$\}A\{k$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$- $\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$\}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$\{k$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$- $\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$\}+f }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {{\lambda}}^{2} \hspace{2}}$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$A$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}d& \vspace{6}\\ e& \vspace{6}\\ \end{array}$+f+\frac{\hspace{2} 2k \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}$\begin{array}d&e& \vspace{6}\\ \end{array}$$\begin{array}b& \vspace{6}\\ - a& \vspace{6}\\ \end{array}$ }$
$3$\displaystyle{ \{\red{\text{there is tag which can't be converted to TeX}}\}=u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$- \frac{\hspace{2} 2k \hspace{2}}{\hspace{2}{\lambda}\hspace{2}}$ae- bd$ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$ ······

となる（上式の最終行で式を用いた）．

頂点を原点に移動する平行移動

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したがって，

$3$\displaystyle{ k=\frac{\hspace{2} {\lambda}u$\hspace{1}{x}_{0},\hspace{1}{y}_{0}$ \hspace{2}}{\hspace{2} 2$ae- bd$ \hspace{2}} }$ ······

を得る．これを式に代入して頂点の座標 $3$\displaystyle{$\hspace{1}{x}_{1},\hspace{1}{y}_{1}$}$ が求まり，座標変換

$3$\displaystyle{ \mathbb{X}=$\begin{array}X& \vspace{6}\\ Y& \vspace{6}\\ \end{array}$=\hspace{1}{}_{0}^{1}P_{}^{} }$ ······

で，式は

$3$\displaystyle{ {\lambda}{Y}^{2}- 2gX=0 }$ ······

と変換される．ただし，式のように複雑な式となるので， $3$\displaystyle{k=0}$ を選ぶ方が簡単である．

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最終更新日：2025年10月17日