複素数問題　解法のヒント

複素数 $3$z$ は実数である ⇒ $3$\displaystyle{z=\bar{z}}$
複素数 $3$z$ は純虚数である ⇒ $3$\displaystyle{z=- \bar{z}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }z\neq 0}$
複素数のn 乗を求めよ⇒極形式に変換 ⇒ド・モアブルの定理を利用してn 乗する
複素数 $3$\displaystyle{ \hspace{1}{z}_{1}=a+bi }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{z}_{2}=c+di }$ が等しい
⇒実部と虚部が互いに等しい　 $3$\displaystyle{a=c\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }b=d}$ ，　絶対値と偏角が等しい $3$\displaystyle{ \| \hspace{1}{z}_{1} \| = \| \hspace{1}{z}_{2} \| \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }arg\hspace{1}{z}_{1}=arg\hspace{1}{z}_{2}}$
$3$\displaystyle{ \|z\| =1}$ ⇒ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}z\hspace{2}}=\bar{z}}$ ⇒ $3$\displaystyle{z+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}z\hspace{2}}=z+\bar{z}=2\cos {\theta}}$
$3$\displaystyle{z+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}z\hspace{2}}=- 1}$ ⇒ $3$\displaystyle{{z}^{2}+z+1}$ ⇒ $3$z$ は $3$\displaystyle{{z}^{3}=1}$ の実数でない解 $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {z}^{3}- 1= $ z- 1 $ $ {z}^{2}+z+1 $ =0}$
$3$\displaystyle{{z}^{3}=1}$ の解を参照
$3$\displaystyle{z+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}z\hspace{2}}=1}$ ⇒ $3$\displaystyle{{z}^{2}-z+1}$ ⇒ $3$z$ は $3$\displaystyle{{z}^{3}=- 1}$ の実数でない解 $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet {z}^{3}- 1= $ z+1 $ $ {z}^{2}-z+1 $ =0}$
異なる複素数 $3$\displaystyle{{\alpha}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }{\beta}\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }{\gamma}}$ が同一直線上にある
⇒ $3$\displaystyle{{\beta}- {\alpha}=k $ {\gamma}- {\alpha} $ }$ （ $3$k$ ：実数）　いいかえると， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\beta}- {\alpha} \hspace{2}}{\hspace{2} {\gamma}- {\alpha} \hspace{2}}}$ が実数

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最終更新日： 2025年4月17日

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