$3$ {z}^{3}=1$ の解

$3$ {z}^{3}=1$ の解は複素数を学習する上で非常に重要な式である．このページで詳しく解説する．

$3$ {z}^{3}=1$ の解を求める．

まず， $3$ {z}^{3}-1=0$ の形にして因数分解する．

$3$ $ z- 1 $ $ {z}^{2}+z+1 $ =0$ ･･････(1)

(1)より

$3$ z- 1 =0$ または， $3${z}^{2}+z+1=0$

$3${z}^{2}+z+1=0$ を解の公式を使って解くと

$3$\displaystyle{ z }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt[ ]{ {1}^{2}- 4\cdot 1\cdot 1 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt[ ]{ - 3 } \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 1\pm \sqrt[ ]{3}i \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\pm \frac{\hspace{2}\sqrt[ ]{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }$

となり虚数解（ここを参照）となる．

以上より， $3$ {z}^{3}=1$ の解は

1， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$ ， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$

となる．

理解をさらに深めるために，求まった解を極形式に変えてみる(偏角 $3${\theta}$ の範囲を $3$0^\circ < {\theta}< 360^\circ$ とする)．

$3$1=\cos 0^\circ +\sin 0^\circ$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i=\cos 120^\circ +i\sin 120^\circ }$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i=\cos 240^\circ +i\sin 240^\circ }$

となり，複素数の絶対値が1で偏角が0°，120°，240°の120°間隔になっている特徴がある．

$3$ {z}^{3}=1$ の3つの解 $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{1}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{2}}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{3}}$ を複素平面上に表すと下図のようになる．

半径1の円上に $3$z=1$ を起点として 120°( $3$=\frac{\hspace{2} 360^\circ \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}$ )ずつ正の方向に回転したところに解が存在する．

$3$\displaystyle{{\omega}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$ とおく（ $3${\omega}$ を1の原始立方根（虚数立方根）という）と, $3${\omega}\cdot {\omega}={{\omega}}^{2}$ は，複素数の積の特徴より，複素数 $3${\omega}$ を120°回転させた複素数になる．すなはち $3$ {z}^{3}=1$ の虚数解のもう一方 $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$ と一致する．

この複素数の積の特徴を利用して，さらに $3$ {z}^{3}=1$ の解について考えてみる．

$3$z=1$ に $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i $ =\cos 120^\circ +i\sin 120^\circ $ }$ を3回掛けると360°回転して元に戻る．式で表すと

$3$\displaystyle{ 1\cdot $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }$ $3$\displaystyle{ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }$ $3$\displaystyle{ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }$

$3$\displaystyle{ ={ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+ \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }^{3} }$

$3$\displaystyle{ ={ $\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ $ }^{3} }$

$3$\displaystyle{ =\{\cos $120^\circ \times 3$+ i\sin $120^\circ \times 3$\} }$

$3$\displaystyle{ =\cos 360^\circ + i\sin 360^\circ }$

$3$\displaystyle{ =1 }$

$3$z=1$ に $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}-\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i $ =\cos 240^\circ +i\sin 240^\circ $ }$ を3回掛けると720°回転して元に戻る．式で表すと，

$3$\displaystyle{ 1\cdot $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }$ $3$\displaystyle{ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }$ $3$\displaystyle{ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }$

$3$\displaystyle{ ={ $- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\sqrt{3}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i$ }^{3} }$

$3$\displaystyle{ ={ $\cos 240^\circ + i\sin 240^\circ $ }^{3} }$

$3$\displaystyle{ =\{\cos $240^\circ \times 3$+ i\sin $240^\circ \times 3$\} }$

$3$\displaystyle{ =\cos 720^\circ + i\sin 720^\circ }$

$3$\displaystyle{ =1 }$

このような特徴を一般化したものがド・モアブルの定理であり， $3${z}^{n}={\alpha}$ の解である．

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最終更新日：2025年11月20日