力学的エネルギー保存の法則

運動エネルギー $3$\displaystyle{K\[\text{J}\]}$ と位置エネルギー $3$\displaystyle{U\[\text{J}\]}$ （重力による位置エネルギー，弾性力による位置エネルギーなど）との和を力学的エネルギーという．物体に作用する力が保存力のみの場合，または保存力以外の力が仕事をしない場合，力学的エネルギーは一定に保たれる．これを力学的エネルギー保存の法則といい，

$3$\displaystyle{ K+U=\text{const} }$

と表される．位置エネルギー $3$\displaystyle{U}$ は一般に物体の位置 $3$\displaystyle{{r}\limits^{\rightarrow }\[\text{m}\]}$ の関数であり，主に重力による位置エネルギーか弾性力による位置エネルギー，もしくはその両方を含む．

例えば，ばね定数 $3$\displaystyle{k\[\text{N/m}\]}$ のばねにつながった質量 $3$\displaystyle{m\[\text{kg}\]}$ の物体が速さ $3$\displaystyle{v\[\text{m/s}\]}$ で運動している状況を考える．このとき，運動エネルギーは $3$\displaystyle{K=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m{v}^{2}}$ であり，重力による位置エネルギーの基準点から測った物体の位置の高さを $3$\displaystyle{h\[\text{m}\]}$ ，ばねの自然長からの変位を $3$\displaystyle{x\[\text{m}\]}$ とすると，位置エネルギーは $3$\displaystyle{U=mgh+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{x}^{2}}$ となるので

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m{v}^{2}+mgh+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}k{x}^{2}=\text{const} }$

が成り立つ．ここで， $3$\displaystyle{g\[{\text{m/s}}^{\text{2}}\]}$ は重力加速度の大きさである．

$力学的エネルギーの保存$

図のように，質量 $3$\displaystyle{ m\text{\hspace{1}}\[\text{kg}\] }$ の物体が自由落下するとき，高さAの位置と高さBの位置での力学的エネルギー $3$\displaystyle{\hspace{1}{E}_{\text{A}}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{E}_{\text{B}}}$ はそれぞれ

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{E}_{\text{A}}=\hspace{1}{K}_{\text{A}}+\hspace{1}{U}_{\text{A}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}mv_{1}^{2}+mg\hspace{1}{h}_{1} }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{E}_{\text{B}}=\hspace{1}{K}_{\text{B}}+\hspace{1}{U}_{\text{B}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}mv_{2}^{2}+mg\hspace{1}{h}_{2} }$

であるので，力学的エネルギー保存の法則より $3$\displaystyle{\hspace{1}{E}_{\text{A}}=\hspace{1}{E}_{\text{B}}}$ なので，

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m\hspace{1}{v}_{1}{ }^{2}+mg\hspace{1}{h}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m\hspace{1}{v}_{2}{ }^{2}+mg\hspace{1}{h}_{2} }$

が成り立つ．

上式について仕事と運動エネルギーの関係を用いて考えると，高さ $3$\displaystyle{\text{A}}$ の位置から高さ $3$\displaystyle{\text{B}}$ の位置まで，重力が物体にする仕事は

$3$\displaystyle{ W=mg$\hspace{1}{h}_{1}- \hspace{1}{h}_{2}$ }$

で，この分だけ運動エネルギーが増加するので

$3$\displaystyle{ mg$\hspace{1}{h}_{1}- \hspace{1}{h}_{2}$=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m\hspace{1}{v}_{2}{ }^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}m\hspace{1}{v}_{1}{ }^{2} }$

が成り立つ．よって

が得られる．

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最終更新日2025年9月24日