ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}={y}^{3}}$

■答

$3$\displaystyle{y=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+C{x}^{2} } \hspace{2}}}$ 　（ $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

■ヒント

ベルヌーイ微分方程式の解法

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ {y}^{n}}$ 　　( $3$\displaystyle{n\neq 0,1}$ )

$3$\displaystyle{z={y}^{ 1- n }}$ とおいて，これを $3$\displaystyle{x}$ と $3$\displaystyle{z}$ の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}={y}^{3}}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{z={y}^{ - 2 }}$ ･･････(2)

とおき，(2)式を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{{z}^{\prime }=- 2{y}^{ - 3 }{y}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{{z}^{\prime }=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{3} \hspace{2}}{y}^{\prime }}$

この式の両辺に $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{3}}$ をかけると

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{3}{z}^{\prime }}$

これを(1)式に代入すると

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{3}{z}^{\prime }+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}={y}^{3}}$

この式の両辺を $3$\displaystyle{- {y}^{3}}$ で割ると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{z}^{\prime }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x{y}^{2} \hspace{2}}=- 1}$

さらに両辺に $3$\displaystyle{2}$ をかけると

$3$\displaystyle{{z}^{\prime }- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} x{y}^{2} \hspace{2}}=- 2}$ ･･････(3)

$3$\displaystyle{z={y}^{ - 2 }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}}$ なので(3)式に代入すると

$3$\displaystyle{{z}^{\prime }- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}z=- 2}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

の一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$ 　（ $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

このことを利用すると

$3$\displaystyle{z={e}^{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx } } $ \displaystyle{ \int - 2{e}^{ - \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx } }dx }+C $ }$

積分すると

$3$\displaystyle{z}$ $3$\displaystyle{={e}^{ 2\log \|x\| } $ - 2\displaystyle{ \int {e}^{ - 2\log \|x\| }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{={e}^{ \log {x}^{2} } $ - 2\displaystyle{ \int {e}^{ \log {x}^{ - 2 } }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{{e}^{ \log F $x$ }=F $x$ }$ となるので

$3$\displaystyle{z}$ $3$\displaystyle{={x}^{2} $ - 2\displaystyle{ \int {x}^{ - 2 }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{={x}^{2} $ 2{x}^{ - 1 }+C $ }$

$3$\displaystyle{=2x+C{x}^{2}}$

$3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}}$ を代入すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}=2x+C{x}^{2}}$

したがって

$3$\displaystyle{ $ 2x+C{x}^{2} $ {y}^{2}=1}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x+C{x}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{y=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2x+C{x}^{2} } \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年6月13日