ベルヌーイの微分方程式

微分方程式

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+P $x$ y=Q $x$ {y}^{n}}$ $3$\displaystyle{ $ n\neq 0,1 $ }$ 　･･････(1)

をベルヌーイの微分方程式という．

なお， $3$\displaystyle{n=0}$ のとき，(1)は線形微分方程式であり， $3$\displaystyle{n=1}$ のとき，(1)は変数分離形である．

■ベルヌーイの微分方程式の解法

(1)式を書き換えると

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ {y}^{n}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{z={y}^{ 1- n }}$ とおき，これを微分すると

$3$\displaystyle{{z}^{\prime }= $ 1- n $ {y}^{ - n }{y}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 合成関数の微分より
$3$ {z}^{\prime }=$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} $ {y}^{ 1- n } $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{= $ 1- n $ {y}^{ - n }\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$= \left({ 1- n }\right){y}^{ - n }{y}^{\prime }$

両辺に $3$\displaystyle{{y}^{n}}$ をかけると

$3$\displaystyle{{y}^{n}{z}^{\prime }= $ 1- n $ {y}^{\prime }}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- n \hspace{2}}{y}^{n}{z}^{\prime }}$

これを(2)に代入すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- n \hspace{2}}{y}^{n}{z}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ {y}^{n}}$

両辺を $3$\displaystyle{{y}^{n}}$ で割ると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- n \hspace{2}}{z}^{\prime }+P $x$ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{n} \hspace{2}}=Q $x$ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{n} \hspace{2}}={y}^{ 1- n }=z}$ であるので

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- n \hspace{2}}{z}^{\prime }+P $x$ z=Q $x$ }$

両辺に $3$\displaystyle{ 1- n }$ をかけると

$3$\displaystyle{{z}^{\prime }+ $ 1- n $ P $x$ z= $ 1- n $ Q $x$ }$

となる．これは，1階線形微分方程式であるので

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$ の一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int P $x$ dx } } $ \displaystyle{ \int Q \(x$ {e}^{ \displaystyle{ \int P $x$ dx } }dx }+c \) }$

であることを利用すると

$3$\displaystyle{z={e}^{ - \displaystyle{ \int $ 1- n $ P $x$ dx } } $ \displaystyle{ \int \( 1- n $ Q $x$ {e}^{ \displaystyle{ \int $ 1- n $ P $x$ dx } }dx }+c \) }$

よって一般解は

$3$\displaystyle{{y}^{ 1- n }={e}^{ - \displaystyle{ \int $ 1- n $ P $x$ dx } } $ \displaystyle{ \int \( 1- n $ Q $x$ {e}^{ \displaystyle{ \int $ 1- n $ P $x$ dx } }dx }+c \) }$

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　最終更新日： 2025年5月4日