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線形微分方程式

微分方程式の中で，関数 $3$\displaystyle{y}$ 　とその導関数 $3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime\prime }}$ ，･･･についての1次方程式

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{A}_{n}\(x\){y}^{ \(n\) }+\hspace{1}{A}_{ n- 1 }\(x\){y}^{ \(n- 1\) }+\cdots }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{A}_{2}\(x\){y}^{\prime\prime }+\hspace{1}{A}_{1}\(x\){y}^{\prime } }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{A}_{0}\(x\)y=F\(x\)}$

を線形微分方程式という．また， $3$\displaystyle{F \(x\) }$ のことを非同次項という．

$3$\displaystyle{F \(x\) =0}$ の場合，線形同次微分方程式といい，

$3$\displaystyle{F \(x\) \neq 0}$ の場合，線形非同次微分方程式という．

線形微分方程式に含まれる導関数の最高次数が n 次だとすると，n 階線形微分方程式という．

■例

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+{x}^{2}y=3}$ 　　･･････1階線形非同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+4{y}^{\prime }+3y=0}$ 　　･･････2階線形同次微分方程式(2階定数係数同次微分方程式)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+2{y}^{\prime }+y={e}^{ 2x }}$ 　　･･････2階線形非同次微分方程式

$3$\displaystyle{{x}^{3}{y}^{\prime\prime\prime }+{x}^{2}{y}^{\prime\prime }+x{y}^{\prime }+y=0}$ 　　･･････3階線形同次微分方程式

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日