完全微分方程式に関する問題

■問題

積分因子を求めて，次の微分方程式を解け

$3$\displaystyle{xydx- x\left({ y- x }\right)dy=0}$

■答

$3$\displaystyle{xy- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2}=c}$

■ヒント

微分方程式 $3$\displaystyle{Pdx+Qdy=0}$ について

・ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{P}_{y}- \hspace{1}{Q}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2}Q\hspace{2}}={\varphi} $x$ }$ （ $3$\displaystyle{x}$ だけの関数）ならば， $3$\displaystyle{{\lambda}={e}^{ \displaystyle{ \int {\varphi} $x$ dx } }}$ は積分因子である．

・ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{P}_{y}- \hspace{1}{Q}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2}P\hspace{2}}={\psi} $y$ }$ （ $3$\displaystyle{y}$ だけの関数）ならば， $3$\displaystyle{{\lambda}={e}^{ - \displaystyle{ \int {\psi} $y$ dy } }}$ は積分因子である．

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■解き方

$3$\displaystyle{ P=xy }$ , $3$\displaystyle{Q=- x\left({ y- x }\right)}$ とおくと

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{P}_{y}=x }$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{Q}_{x}=- y+2x}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{P}_{y}- \hspace{1}{Q}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2}Q\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} x- \left({ - y+2x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} - x\left({ y- x }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} y- x \hspace{2}}{\hspace{2} - x\left({ y- x }\right) \hspace{2}}}$ $3$$ = − 1 x 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \hspace{1}{P}_{y}- \hspace{1}{Q}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2}P\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} x- \left({ - y+2x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} xy \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} y- x \hspace{2}}{\hspace{2} xy \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

積分因子 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ は(1)より

$3$\displaystyle{{\lambda}={e}^{ \displaystyle{ \int \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)dx } }={e}^{ - \log \left|{x}\right| }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ 　･･････(3)

となる．与式の微分方程式の両辺に積分因子 $3$\displaystyle{{\lambda}}$ をかけると

$3$\displaystyle{ydx- \left({ y- x }\right)dy=0}$ 　･･････(4)

となる．

(4)が完全微分方程式になっているか確認する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}y=1}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\left{{ - \left({ y- x }\right) }\right}=1}$ 　･･････(6)

(5)と(6)より，(4)は完全微分方程式であるための必要十分条件を満たしている．

よって，(4)の一般解は完全微分方程式の一般解の式

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }$ $3$\displaystyle{ +\displaystyle{ \int \left{{ Q\left({ x,y }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int P\left({ x,y }\right)dx } }\right}dy }=c }$ 　( $3$\displaystyle{c}$ ：任意定数)

を用いると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int ydx+\displaystyle{ \int \left{{ - \left({ y- x }\right)- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}\displaystyle{ \int ydx } }\right}dy=c } }}$

$3$\displaystyle{xy+\displaystyle{ \int \left{{ x- y- \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}xy }\right}dy=c }}$

$3$\displaystyle{xy+\displaystyle{ \int \left{{ x- y- x }\right}dy=c }}$

$3$\displaystyle{xy+\displaystyle{ \int \left({ - y }\right)dy=c }}$

$3$\displaystyle{xy- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{y}^{2}=c}$ 　･･････(7)

となる．以上より，(7)は与式の微分方程式の一般解である．

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最終更新日： 2025年8月20日