変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+{e}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ x- y } \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{{e}^{ - x }- {e}^{ - y }- x=C}$

（ただし $3$\displaystyle{C}$ 任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+{e}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ x- y } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+{e}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x}{e}^{ - y } \hspace{2}}}$

ここで変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{dy=\frac{\hspace{2} 1+{e}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x}{e}^{ - y } \hspace{2}}dx}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - y }dy=\frac{\hspace{2} 1+{e}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x} \hspace{2}}dx}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - y }dy= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{x} \hspace{2}}+1 $ dx}$

$3$\displaystyle{{e}^{ - y }dy= $ {e}^{ - x }+1 $ dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ - y } }dy=\displaystyle{ \int $ {e}^{ - x }+1 $ dx }+C}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{ - y }dy }=\displaystyle{ \int {e}^{ - x }dx }+\displaystyle{ \int dx }+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{- {e}^{ - y }=- {e}^{ - x }+x+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

式を整理すると

$3$\displaystyle{{e}^{ - x }- {e}^{ - y }- x=C}$

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最終更新日： 2023年6月17日