変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{ $ {y}^{2}+\sin y $ {y}^{\prime }+\cos x+{x}^{3}=0}$

■答

$3$\displaystyle{3{x}^{4}+4{y}^{3}+12\sin x- 12\cos y=A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{ $ {y}^{2}+\sin y $ {y}^{\prime }+\cos x+{x}^{3}=0}$

$3$\displaystyle{ $ {y}^{2}+\sin y $ {y}^{\prime }=- $ \cos x+{x}^{3} $ }$

$3$\displaystyle{ y\prime =\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ 　より

$3$\displaystyle{ $ {y}^{2}+\sin y $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- $ \cos x+{x}^{3} $ }$

ここで変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

両辺に $3$\displaystyle{ dx }$ をかけて

$3$\displaystyle{ $ {y}^{2}+\sin y $ dy=- $ \cos x+{x}^{3} $ dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ {y}^{2}+\sin y $ dy }=- \displaystyle{ \int $ \cos x+{x}^{3} $ dx }}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {y}^{2}dy+ }\displaystyle{ \int \sin ydy }}$ $3$\displaystyle{=- $ \displaystyle{ \int \cos xdx+\displaystyle{ \int {x}^{3}dx } } $ }$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{y}^{3}- \cos y=- \sin x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

両辺に12をかけると

$3$\displaystyle{4{y}^{3}- 12\cos y=- 12\sin x- 3{x}^{4}+12C}$

$3$\displaystyle{3{x}^{4}+4{y}^{3}+12\sin x- 12\cos y=12C}$

$3$\displaystyle{12C=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{3{x}^{4}+4{y}^{3}+12\sin x- 12\cos y=A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2019年10月28日