変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{2}dx- {x}^{3}dy=0}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+A{x}^{2} \hspace{2}}}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

$3$\displaystyle{{y}^{2}dx- {x}^{3}dy=0}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}dx={x}^{3}dy}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}dx=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}dy}$

$3$\displaystyle{{x}^{ - 3 }dx={y}^{ - 2 }dy}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {x}^{ - 3 }dx }=\displaystyle{ \int {y}^{ - 2 }dy }+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{ - 2 }=- {y}^{ - 1 }+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

この式を整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1+2C{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}}}$

したがって

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+2C{x}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{2C=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1+A{x}^{2} \hspace{2}}}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

最終更新日： 2019年10月28日