変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{\sqrt{ x- 1 }{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{y} \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{y\sqrt{y}=3\sqrt{ x- 1 }+A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

■解き方

$3$\displaystyle{\sqrt{ x- 1 }{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{y} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ 　より　

$3$\displaystyle{{ $ x- 1 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{y}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x- 1 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } \hspace{2}}dx}$

$3$\displaystyle{{y}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dy={ $ x- 1 $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {y}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dy }=\displaystyle{ \int { $ x- 1 $ }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dx }+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{y}^{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }=2{ $ x- 1 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}y\sqrt{y}=2\sqrt{ x- 1 }+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

両辺に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ をかけると

$3$\displaystyle{y\sqrt{y}=3\sqrt{ x- 1 }+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}C}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}C=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{y\sqrt{y}=3\sqrt{ x- 1 }+A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2023年6月17日