変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ \sin }^{2}x\sin y\cos x}$

■答

$3$\displaystyle{3\log \| \tan \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| - { \sin }^{3}x=A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

■解き方

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ \sin }^{2}x\sin y\cos x}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \sin }^{2}x\sin y\cos x}$

両辺に $3$\displaystyle{dx}$ をかけて

$3$\displaystyle{dy= $ { \sin }^{2}x\sin y\cos x $ dx}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin y \hspace{2}}dy={ \sin }^{2}x\cos xdx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sin y \hspace{2}}dy }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int { \sin }^{2}x\cos xdx }+C}$

⇒左辺の積分方法 ⇒右辺の積分方法

$3$\displaystyle{\log \| \tan \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{ \sin }^{3}x+C}$

よって，この式を整理すると

$3$\displaystyle{3\log \| \tan \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| - { \sin }^{3}x=3C}$

$3$\displaystyle{3C=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{3\log \| \tan \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \| - { \sin }^{3}x=A}$

（ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2022年5月4日