同次形微分方程式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ 　　･･････(1)

$3$\displaystyle{y=Cx}$ 　（ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ 　･･････(1)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=v}$ とおく．すなわち

$3$\displaystyle{y=vx}$ 　　･･････(2)

両辺を $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

$3$\displaystyle{v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=v}$

$3$\displaystyle{x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{v=C}$ (ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=C}$

整理すると

$3$\displaystyle{y=Cx}$

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最終更新日： 2023年6月19日