同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{xy\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={x}^{2}+{y}^{2}}$ 　･･････(1)

■答

$3$\displaystyle{y=\pm x\sqrt{ 2\log \left|{x}\right|+A }}$ 　(ただし $3$\displaystyle{A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{xy\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={x}^{2}+{y}^{2}}$ 　･･････(1)

(1)の両辺を $3$\displaystyle{xy}$ で割ると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=v}$ とおく．すなわち

$3$\displaystyle{y=vx}$ 　･･････(3)

これを $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

$3$\displaystyle{v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}+v}$

$3$\displaystyle{x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{vdv=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int v dv }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx }+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{v}^{2}=\log \|x\| +C}$

$3$\displaystyle{v}$ を元( $3$\displaystyle{v=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ )に戻すと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{2}=\log \|x\| +C}$

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)}^{2}=2\log \left|{x}\right|+2C}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=\pm \sqrt{ 2\log \left|{x}\right|+2C }}$

$3$\displaystyle{y=\pm x\sqrt{ 2\log \left|{x}\right|+2C }}$

$3$\displaystyle{2C=A}$ とおくと

$3$\displaystyle{y=\pm x\sqrt{ 2\log \left|{x}\right|+A }}$

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最終更新日： 2023年6月19日