同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{x- 2y+3x{y}^{\prime }=0}$ 　･･････(1)

■答

$3$\displaystyle{y=- x+\sqrt[3]{ A{x}^{2} }}$ 　( $3$\displaystyle{A}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{x- 2y+3x{y}^{\prime }=0}$ 　･･････(1)

(1)を変形すると

$3$\displaystyle{3x\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- x+2y}$

(1)の両辺を $3$\displaystyle{x}$ で割ると

$3$\displaystyle{3\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 1+2\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=v}$ とおく．すなわち

$3$\displaystyle{y=vx}$ 　･･････(3)

これを $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

$3$\displaystyle{3 $ v+x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ =- 1+2v}$

$3$\displaystyle{3v+3x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 1+2v}$

$3$\displaystyle{3x\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 1- v}$

$3$\displaystyle{3xdv=- $ 1+v $ dx}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+v \hspace{2}}dv=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3x \hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+v \hspace{2}}dv }=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3x \hspace{2}}dx }+C}$

(ただし $3$\displaystyle{C}$ は任意定数)

$3$\displaystyle{\log \| 1+v \| =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\log \| 3x \| +C}$

$3$\displaystyle{\log \| 1+v \| +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\log \| 3x \| =C}$

両辺に3を掛けると

$3$\displaystyle{3\log \| 1+v \| +\log \| 3x \| =3C}$

対数の性質より

$3$\displaystyle{\log { \| 1+v \| }^{3} \| 3x \| =3C}$

右辺の $3$\displaystyle{3C}$ は $3$\displaystyle{ 3C=3C\log e=\log {e}^{ 3C } }$ と変形できるので( $3$\displaystyle{ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet \log e=1 }$ )

$3$\displaystyle{\log { \| 1+v \| }^{3} \| 3x \| =\log {e}^{ 3C }}$

よって

$3$\displaystyle{{ \| 1+v \| }^{3} \| 3x \| ={e}^{ 3C }}$

$3$\displaystyle{3x{ $ 1+v $ }^{3}=\pm {e}^{ 3C }}$

$3$\displaystyle{v}$ を元に戻すと( $3$\displaystyle{v=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ )

$3$\displaystyle{3x{ $ 1+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{3}=\pm {e}^{ 3C }}$

両辺を3で割ると

$3$\displaystyle{x{ $ 1+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{3}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3C }}$

さらに両辺に $3$\displaystyle{{x}^{2}}$ をかけると

$3$\displaystyle{{x}^{3}{ $ 1+\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{3}=\pm \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{e}^{ 3C }{x}^{2}}$