微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}- 3D+2 \hspace{2}}2{x}^{2}}$

■答

$3$\displaystyle{ {x}^{2}+3x+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

■ヒント

逆演算子を部分分数に分解して解く．この公式を参照．

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}- 3D+2 \hspace{2}}2{x}^{2}}$

$3$\displaystyle{= $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- 2 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D- 1 \hspace{2}} $ 2{x}^{2}}$

この公式を利用する

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 1- D \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- $ 1+\frac{\hspace{2}D\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {D}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ {x}^{2}+ $ 1+D+{D}^{2} $ 2{x}^{2}}$

$3$\displaystyle{=- $ {x}^{2}+x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +2{x}^{2}+4x+4}$

$3$\displaystyle{={x}^{2}+3x+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年6月29日