式の導出

以下のような逆演算子は，部分分数に分解することが出来る．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right) \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- bD }\right) \hspace{2}} }\right}}$ 　･･････(1)

■導出

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- at }\right)\left({ 1- bt }\right) \hspace{2}}}$

を因数分解すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- at }\right)\left({ 1- bt }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left({ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} 1- at \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} 1- bt \hspace{2}} }\right)}$ 　･･････(2)

となる．(2)の右辺を通分して整理すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- at }\right)\left({ 1- bt }\right) \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ a\left({ 1- bt }\right)- b\left({ 1- at }\right) }\right} \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- at }\right)\left({ 1- bt }\right) \hspace{2}}}$ 　･･････(3)

となる．(4)の左辺と右辺の分母は同じであることより

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ a\left({ 1- bt }\right)- b\left({ 1- at }\right) }\right}=1}$ 　･･････(4)

が成り立つ．微分演算子は，多項式の同様に，和，差，定数倍，積が成り立つので

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ a\left({ 1- bD }\right)- b\left({ 1- aD }\right) }\right}=1}$ 　･･････(5)

が成り立つ． $3$\displaystyle{ F\left({x}\right) }$ に(5)の両辺の微分演算子をほどこすと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ a\left({ 1- bD }\right)- b\left({ 1- aD }\right) }\right}F\left({x}\right)}$ $3$\displaystyle{=1\cdot F\left({x}\right)}$ 　･･････(6)

更に，(6)の両辺に $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}}$ をほどこすと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ a\left({ 1- bD }\right)- b\left({ 1- aD }\right) }\right}F\left({x}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$ 　･･････(7)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ a\left({ 1- bD }\right)F\left({x}\right)- b\left({ 1- aD }\right)F\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$

(∵微分演算子の差より)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}\left({ 1- bD }\right)F\left({x}\right)- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- bD }\right)\left({ 1- aD }\right) \hspace{2}}\left({ 1- aD }\right)F\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$

(∵この公式)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }\right}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$

(∵この公式，および， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}f\left({D}\right)=1 }$ )

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a- b \hspace{2}}\left{{ \frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right) \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- bD }\right) \hspace{2}} }\right}F\left({x}\right)}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 1- aD }\right)\left({ 1- bD }\right) \hspace{2}}F\left({x}\right)}$ 　　･･････(7)

となる．(7)より

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　最終更新日： 2024年5月17日