微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ f $x$ =\frac{\hspace{2} 4{x}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2x+1 $ $ x- 1 $ \hspace{2}} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x- 1 }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

■ヒント

関数の積の微分，分数関数の微分?Uより

$3$\displaystyle{ { \{ \frac{\hspace{2} h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=\frac{\hspace{2} {h}^{\prime } $x$ g $x$ - h $x$ {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g{ $x$ }^{2} \hspace{2}} }$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ f $x$ =\frac{\hspace{2} 4{x}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} $ 2x+1 $ $ x- 1 $ \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { $ 4{x}^{2}- 1 $ }^{\prime } $ 2x+1 $ $ x- 1 $ - $ 4{x}^{2}- 1 $ { \{ $ 2x+1 $ $ x- 1 $ \} }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ $ 2x+1 $ $ x- 1 $ \} }^{2} \hspace{2}} }$

(分数関数の微分?Uを参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 8x $ 2x+1 $ $ x- 1 $ - $ 4{x}^{2}- 1 $ $ 4x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ $ 2x+1 $ $ x- 1 $ \} }^{2} \hspace{2}} }$

(関数の積の微分より， $3$\displaystyle{ { \left{{ \left({ 2x+1 }\right)\left({ x- 1 }\right) }\right} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={ \left({ 2x+1 }\right) }^{\prime }\left({ x- 1 }\right)+\left({ 2x+1 }\right){ \left({ x- 1 }\right) }^{\prime } }$ ）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 8x $ 2{x}^{2}- x- 1 $ - $ 16{x}^{3}- 4{x}^{2}- 4x+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ $ 2x+1 $ $ x- 1 $ \} }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} \left({ 4{x}^{2}+4x+1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ \left({ 2x+1 }\right)\left({ x- 1 }\right) }\right} }^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} { \left({ 2x+1 }\right) }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { \left{{ \left({ 2x+1 }\right)\left({ x- 1 }\right) }\right} }^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x- 1 }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

■別解

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年4月18日