微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[3]{ \frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}} } }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }= - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 3{ $ x- 1 $ }^{2} \hspace{2}}\sqrt[3]{ { $ \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ }^{2} } }$

■ヒント

合成関数を微分する手順で示した

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\sqrt[3]{ \frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}} } }$

を

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{}_{}^{}\sqrt{u}_{}^{}3}$ ， $3$\displaystyle{u=\frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}}$

とおく．

$3$\displaystyle{ y={u}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$

(合成関数の導関数を参照)

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \left({ \frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}} }\right) }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { \left({ x+1 }\right) }^{\prime }\left({ x- 1 }\right)- \left({ x+1 }\right){ \left({ x- 1 }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x- 1 }\right) }^{2} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 2 \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ x- 1 }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\cdot \frac{\hspace{2} - 2 \hspace{2}}{\hspace{2}{ $ x- 1 $ }^{2}\hspace{2}} }$

( $3$\displaystyle{ u=\frac{\hspace{2} x+1 \hspace{2}}{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}} }$ と置き換えていたのを元に戻す）

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sqrt[3]{ { $ \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ }^{2} }\cdot \frac{\hspace{2} - 2 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x- 1 $ }^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 3{ $ x- 1 $ }^{2} \hspace{2}}\sqrt[3]{ { $ \frac{\hspace{2} x- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} x+1 \hspace{2}} $ }^{2} }}$

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最終更新日： 2025年4月9日