微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} 1- 3\sin x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\cos x \hspace{2}} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \sin x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{ \cos }^{2}x \hspace{2}}}$

■ヒント

分数関数の微分より

$3$\displaystyle{ { \{ \frac{\hspace{2} h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=\frac{\hspace{2} {h}^{\prime } $x$ g $x$ - h $x$ {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g{ $x$ }^{2} \hspace{2}} }$

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} 1- 3\sin x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\cos x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} { $ 1- 3\sin x $ }^{\prime }2\cos x- $ 1- 3\sin x $ { $ 2\cos x $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ 2\cos x $ }^{2} \hspace{2}} }$

( 分数関数の微分を参照)

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} { \left({ 1- 3\sin x }\right) }^{\prime }2\cos x- \left({ 1- 3\sin x }\right){ \left({ 2\cos x }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 2\cos x }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 3\cos x\cdot 2\cos x- \left({ 1- 3\sin x }\right)\left({ - 2\sin x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 2\cos x }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 6{ \cos }^{2}x- 6{ \sin }^{2}x+2\sin x \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ 2\cos x }\right) }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} - 6 $ {\sin }^{2}x+ {\cos }^{2}x $ + 2\sin x \hspace{2}}{\hspace{2}{ $ 2\cos x $ }^{2}\hspace{2}} }$

(三角関数の相互関係の関係式より, $3$\displaystyle{ { \sin }^{2}x+{ \cos }^{2}x=1 }$ )

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2 $ \sin x- 3 $ \hspace{2}}{\hspace{2}{ $ 2\cos x $ }^{2}\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \sin x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{\cos }^{2}x \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年4月21日