微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y= \log $ 2{x}^{2}- 3x+2 $ }$

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }= \frac{\hspace{2} 4x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}- 3x+2 \hspace{2}} }$

■ヒント

合成関数の導関数

$3$\displaystyle{ { \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\log $ 2{x}^{2}- 3x+2 $ }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}- 3x+ 2 \hspace{2}}{\left({ 2{x}^{2}- 3x+ 2 }\right)}^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}- 3x+ 2 \hspace{2}}\left({ 4x- 3 }\right) }$

（ $3$\displaystyle{ { \{ \log x \} }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ を使っている)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 4x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}- 3x+ 2 \hspace{2}} }$

合成関数の導関数において

$3$\displaystyle{y=f $u$ =\log u}$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ =2{x}^{2}- 3x+2}$

と考えて

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) ·{g}^{\prime } $x$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

の式を適用している．

● $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}·\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を適用する場合

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\log u=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\left({ 2{x}^{2}- 3x+2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=4x- 3}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\cdot \left({ 4x- 3 }\right)=}$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} 4x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}- 3x+2 \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年2月20日

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● TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。 を適用する場合