微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\log $ \log \( \log \( \log 5x $ \) \) }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log 5x $ \log \( \log 5x $ \) \cdot $ \log \( \log \( \log 5x $ \) \) \hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \log x }$ の微分の公式と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\log $ \log \( \log \( \log 5x $ \) \) }$

この式を

$3$\displaystyle{y=\log s}$ ， $3$\displaystyle{s=\log $ \log \( \log 5x $ \) }$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{s=\log t}$ ， $3$\displaystyle{t=\log $ \log 5x $ }$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{t=\log u}$ ， $3$\displaystyle{u=\log 5x}$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ は

$3$\displaystyle{u=\log v}$ ， $3$\displaystyle{v=5x}$

と置き，合成関数の微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dv \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=5}$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dv \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dv \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}\cdot 5}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}\cdot 5}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}\cdot 5}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}v\hspace{2}}\cdot 5}$

したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log $ \log \( \log 5x $ \) \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log $ \log 5x $ \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 5x \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5x \hspace{2}}\cdot 5}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\log 5x $ \log \( \log 5x $ \) \cdot $ \log \( \log \( \log 5x $ \) \) \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年6月4日