微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\log \frac{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} 12{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} $ {e}^{ 3x }- 3 $ $ {e}^{ 3x }+1 $ \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\log \frac{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}}$ を

$3$\displaystyle{y=\log u}$

$3$\displaystyle{u=\frac{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}}$

と置き，合成関数の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }- 3 $ }^{\prime }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ {e}^{ 3x }+1 $ - $ {e}^{ 3x }- 3 $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3{e}^{ 3x } $ {e}^{ 3x }+1 $ - 3{e}^{ 3x } $ {e}^{ 3x }- 3 $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3{e}^{ 3x } \{ $ {e}^{ 3x }+1 $ - $ {e}^{ 3x }- 3 $ \} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 12{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}s\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} 12{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} 12{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 12{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} $ {e}^{ 3x }- 3 $ $ {e}^{ 3x }+1 $ \hspace{2}}}$

●別解

真数が正であることより

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}> 0}$

である． $3$\displaystyle{{e}^{ 3x }+1> 0}$ より

$3$\displaystyle{{e}^{ 3x }- 3> 0}$

でなければならない．

よって

$3$\displaystyle{y=\log \frac{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\log $ {e}^{ 3x }- 3 $ - \log $ {e}^{ 3x }+1 $ }$

と変形できる．これを $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ \{ \log $ {e}^{ 3x }- 3 $ \} }^{\prime }- { \{ \log $ {e}^{ 3x }+1 $ \} }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}{ $ {e}^{ 3x }- 3 $ }^{\prime }- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}{ $ {e}^{ 3x }+1 $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }- 3 \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 3{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 3x }+1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3{e}^{ 3x } \{ $ {e}^{ 3x }+1 $ - $ {e}^{ 3x }- 3 $ \} \hspace{2}}{\hspace{2} $ {e}^{ 3x }- 3 $ $ {e}^{ 3x }+1 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3{e}^{ 3x }\cdot 4 \hspace{2}}{\hspace{2} $ {e}^{ 3x }- 3 $ $ {e}^{ 3x }+1 $ \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 12{e}^{ 3x } \hspace{2}}{\hspace{2} $ {e}^{ 3x }- 3 $ $ {e}^{ 3x }+1 $ \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年5月20日