微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2} {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ （ $3$\displaystyle{n}$ は自然数）

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2} 2 $ {e}^{ - 2nx }- {e}^{ 2nx } $ \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\log \frac{\hspace{2} {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } \hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}} \{ \log $ {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } $ - \log 4 \} }$

(この対数の性質を用いる．)

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ - 2nx }+{e}^{ - 2nx } \hspace{2}}{ $ {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}n\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } \hspace{2}}\left({ - 2n{e}^{ - 2nx }+2n{e}^{ 2nx } }\right) }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2 $ {e}^{ - 2nx }- {e}^{ 2nx } $ \hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ - 2nx }+{e}^{ 2nx } \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年5月20日