微分の計算問題

■問題

$3$\displaystyle{ f $x$ =\hspace{1}{ \log }_{2}x }$ とする． $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $5$ }$ を微分係数の定義式を用いて求めよ．

微分係数の定義式： $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ a+h $ - f $a$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({5}\right)=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5\log 2 \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{e}$ の定義を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $5$ ={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f $ 5+h $ - f $5$ \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{2} $ 5+h $ - \hspace{1}{ \log }_{2}5 \hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}} \{ \hspace{1}{ \log }_{2} $ 5+h $ - \hspace{1}{ \log }_{2}5 \} }$

対数の性質を用いると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2} $ 1+\frac{\hspace{2}h\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ h\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}h\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2} $ 1+\frac{\hspace{2}h\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}h\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}=t}$ と置く． $3$\displaystyle{h\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ よって

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2} $ 1+t $ }$

$3$\displaystyle{e}$ の定義を用いると

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2}{ $ 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{t}$ の変化が関係するところは，対数の真数部分だけである．よって

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2} $ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }{ \( 1+t $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} } \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2}e}$

底の変換公式を用いて底を2から $3$\displaystyle{e}$ に変換すると

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} \log e \hspace{2}}{\hspace{2} \log 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \log 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 5\log 2 \hspace{2}}}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日